우주에서 두 평면의 상대적 위치

이 페이지에서는 두 평면(건조 평면, 평행 평면 또는 일치 평면)의 가능한 모든 상대 위치를 찾을 수 있습니다. 또한 두 평면 사이의 상대 위치가 어떻게 계산되는지 알아보고, 또한 예제를 보고 해결된 연습 문제를 연습할 수 있습니다.

두 평면의 상대적인 위치는 무엇입니까?

분석 형상에서는 두 평면 사이에 가능한 상대 위치가 세 가지(할선 평면, 평행 평면, 일치 평면)뿐입니다.

교차 평면 : 두 평면이 한 선에서만 교차하는 경우 교차합니다.
평행 평면 : 두 평면이 어떤 점에서도 교차하지 않으면 평행합니다.
일치 평면 : 두 평면이 모두 공통점을 갖고 있으면 일치합니다.

교차 평면

평행면

일치하는 평면

두 평면 사이의 상대 위치를 찾는 방법에는 두 가지가 있습니다. 하나는 두 평면의 일반 방정식의 계수를 사용하는 것이고, 다른 하나는 두 행렬의 순위를 계산하는 것입니다. 다음은 각 절차에 대한 설명입니다.

계수로 두 평면의 상대 위치를 결정하는 방법

두 평면 사이의 상대 위치를 아는 한 가지 방법은 일반(또는 암시적) 방정식의 계수를 사용하는 것입니다.

그런 다음 두 개의 다른 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 고려하십시오.

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

3차원 공간(R3)에서 두 평면 사이의 상대적 위치는 계수 또는 매개변수의 비례성에 따라 달라집니다.

따라서 계수 A, B 또는 C 중 하나가 다른 계수와 비례하지 않으면 두 평면이 교차합니다. 반면에, 독립 항만이 비례하지 않을 때 두 평면은 평행합니다. 그리고 마지막으로 두 방정식의 모든 계수가 비례할 때 계획이 일치하게 됩니다.

예를 들어, 다음 두 평면의 상대 위치를 계산해 보겠습니다.

$\pi_1 : \ 6x-2y+4z+5=0$

$\pi_2 : \ -3x+y-2z+4=0$

어떤 유형의 항공기인지 알려면 어떤 계수가 비례하는지 확인해야 합니다.

$\cfrac{6}{-3} = \cfrac{-2}{1} =\cfrac{4}{-2} \neq \cfrac{5}{4}$

계수 A, B, C는 서로 비례하지만 계수 D에는 비례하지 않으므로 두 평면은 평행합니다 .

범위별로 두 평면의 상대 위치를 계산하는 방법

결정된 두 평면의 상대 위치를 아는 또 다른 방법은 해당 평면의 계수로 형성된 두 행렬의 범위를 계산하는 것입니다.

따라서 두 개의 서로 다른 평면의 일반(또는 암시적) 방정식을 보겠습니다.

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

A를 두 방정식의 계수 A, B, C로 구성된 행렬이라고 부릅니다.

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}$

그리고 행렬 A’를 두 방정식의 모든 계수를 포함하는 확장된 행렬로 설정합니다.

$\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}$

두 평면의 상대적 위치는 이전 두 행렬의 범위를 기반으로 알 수 있습니다.

상대 위치가 이 두 행렬의 순위에 따라 달라지는 것은 Rouche-Frobenius toerem(선형 방정식 시스템을 해결하는 데 사용되는 정리)에서 확인할 수 있습니다. 그러나 이 페이지에서는 알 필요도 없고 많은 정보를 제공하지 않기 때문에 데모를 수행하지 않습니다.

따라서 이것이 어떻게 수행되는지 볼 수 있으며 다음 두 평면 사이의 상대 위치를 계산합니다.

$\pi_1 : \ 2x+3y-z+1=0$