▷ 함수의 오목함과 볼록함(곡률)

여기서는 함수의 오목함과 볼록함이 무엇인지, 그리고 함수가 오목함인지 볼록함인지 구별하는 방법을 배웁니다. 또한 함수의 곡률에 대한 단계별 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

함수의 오목함과 볼록함은 무엇입니까?

함수의 오목함과 볼록함은 함수 그래프의 곡률을 나타냅니다. 그래프가 산 모양인 함수를 오목 함수, 계곡 모양을 한 함수를 볼록 함수라고 합니다.

앞 문단에서는 이해의 편의를 위해 오목함수와 볼록함수를 비공식적으로 정의했지만, 오목함수와 볼록함수의 수학적 정의는 다음과 같습니다.

오목 함수(Concave function): 함수의 두 점을 연결하는 선분이 곡선 아래에 있는 경우.
볼록함수(Convex function): 함수의 두 점을 연결하는 선분이 곡선 위에 있는 경우.

결국 오목함수와 볼록함수의 차이는 함수의 모양에 달려 있기 때문에 함수의 그래프를 보면 오목함수와 볼록함수를 구분할 수 있습니다.

그러나 함수가 반드시 전체 영역에 걸쳐 오목하거나 볼록할 필요는 없지만, 한 구간에서는 오목하고 다른 구간에서는 볼록할 수도 있습니다.

참고: 수학계에서는 여전히 완전히 동의하지 않기 때문에 일부 교수들은 그 반대라고 말합니다. 그들은 함수를 오목 함수라고 부릅니다.

$\bm{\cup}$

, 그리고 다음과 같은 형태의 볼록 함수

$\bm{\cap}$

. 어쨌든 중요한 것은 이름이 무엇이든 그 기능이 무엇인지 아는 것입니다.

함수의 곡률을 연구하는 방법

함수의 곡률을 연구한다는 것은 함수의 오목함과 볼록함을 찾는 것, 즉 함수가 오목한 간격과 함수가 볼록한 간격을 아는 것을 포함합니다.

따라서 함수의 곡률을 연구하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

함수의 정의역에 속하지 않는 점을 찾습니다.
함수의 1차 도함수와 2차 도함수를 계산합니다.
2차 도함수의 근을 구합니다. 즉, 다음을 풀어 2차 도함수를 상쇄하는 점을 계산합니다.
$f''(x)=0$

.
도함수의 근과 함수의 정의역에 속하지 않는 점으로 구간을 만듭니다.
각 구간의 한 지점에서 2차 도함수 값을 계산합니다.
따라서 2차 도함수의 부호는 이 구간에서 함수의 오목함이나 볼록함을 결정합니다.
- 함수의 2차 도함수가 양수이면 함수는 이 구간에서 볼록합니다 .
- 함수의 2차 도함수가 음수이면 함수는 이 구간에서 오목합니다 .

함수의 곡률을 찾는 방법의 예

다음으로, 함수의 오목 및 볼록 간격이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있도록 단계별로 예제를 풀어보겠습니다.

다음 함수의 오목함과 볼록함을 연구합니다.

$f(x)=x^3-3x$

가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의 영역을 계산하는 것입니다. 이 경우 다항식 함수가 있으므로 함수의 정의역은 실수로 구성됩니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

함수의 영역을 계산한 후에는 함수의 2차 도함수가 사라지는 지점을 조사해야 합니다.

따라서 우리는 함수의 1차 도함수를 계산합니다.

$f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)= 3x^2-3$

그런 다음 함수의 2차 도함수를 찾습니다.

$f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x$

이제 2차 도함수를 0으로 설정하고 방정식을 풉니다.

$f''(x)=0$

$6x=0$

$x=\cfrac{0}{6}$

$x=0$

일단 함수의 도메인을 계산하고

$f''(x)=0$

, 우리는 선에서 발견된 모든 중요한 점을 나타냅니다. 이 경우 함수 정의 영역 계산에서 중요한 점을 찾지 못했지만 함수의 2차 도함수를 취소하는 점을 얻었습니다.

이제 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 평가하여 함수가 오목인지 볼록인지 확인합니다. 따라서 우리는 각 간격(중요점이 아님)에서 점을 취하고 이 점에서 2차 도함수의 부호가 무엇인지 살펴봅니다.

$f''(x)=6x$

$f''(-1) = 6\cdot (-1)=-6 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(1) = 6\cdot 1=+6 \ \rightarrow \ \bm{+}$

마지막으로 함수의 오목함과 볼록함 간격을 추론합니다. 2차 도함수가 양수이면 함수가 볼록함을 의미합니다.

$(\bm{\cup})$

, 그리고 2차 도함수가 음수이면 이는 함수가 오목함을 의미합니다.

$(\bm{\cap})$

. 따라서 함수의 오목 및 볼록 간격은 다음과 같습니다.

볼록한

$(\bm{\cup})$

$\bm{(0,+\infty)}$

오목한

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,0)}$

함수의 오목함과 볼록함에 대한 연습문제 해결

연습 1

다음 다항식 함수의 오목함과 볼록함 간격을 계산합니다.

$f(x) = x^3-3x^2-2x$

솔루션 보기

연습의 함수는 다항식이므로 함수의 정의역은 실수로 구성됩니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

함수의 영역을 결정한 후 이를 차별화합니다.

$f(x)=x^3-3x^2-2x \ \longrightarrow \ f'(x)= 3x^2-6x-2$

그런 다음 함수의 2차 도함수를 찾습니다.

$f'(x)= 3x^2-6x-2 \ \longrightarrow \ f''(x)= 6x-6$

이제 2차 도함수를 0으로 설정하고 방정식을 풉니다.

$f''(x)= 0$

$6x-6= 0$

$6x= 6$

$x= \cfrac{6}{6}$

$x=1$

함수의 정의역을 계산하고 풀면

$f''(x)=0$

, 수직선에서 발견된 모든 특이점을 나타냅니다.

이제 각 간격에 속하는 점을 취하고 이 점에서 어떤 기호가 2차 도함수를 갖는지 살펴보겠습니다.

$f''(0)= 6\cdot 0-6 = -6 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2)= 6\cdot 2-6 = 12-6=+6 \ \rightarrow \ \bm{+}$

2차 도함수가 0보다 크면 함수가 볼록함을 의미합니다.

$(\bm{\cup})$

, 그러나 2차 도함수가 음수인 경우 이는 함수가 오목함을 의미합니다.

$(\bm{\cap})$

. 따라서 오목함과 볼록함의 간격은 다음과 같습니다.

볼록한

$(\bm{\cup})$

$\bm{(1,+\infty)}$

오목한

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,1)}$

연습 2

다음 유리 함수의 곡률을 연구합니다.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$

솔루션 보기

먼저 함수의 정의역을 계산해야 합니다. 이것은 유리함수이므로 분모를 0으로 설정하여 어떤 숫자가 함수의 정의역에 속하지 않는지 확인합니다.

$x^2-4= 0$

$x^2=4$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

이는 x가 -2 또는 +2일 때 분모가 0이 된다는 것을 의미합니다. 따라서 함수는 존재하지 않습니다. 따라서 함수의 정의역은 x=-2와 x=+2를 제외한 모든 숫자로 구성됩니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}$

둘째, 함수의 1차 도함수를 계산합니다.

$f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}$

그리고 나서 우리는 이차 도함수를 푼다:

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }$

모든 항에 다음을 곱합니다.

$(x^2-4)$

. 따라서 분수를 단순화할 수 있습니다.

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }$

이제 함수의 2차 도함수 근을 계산해 보겠습니다.

$f''(x)= 0$

$\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0$

용어

$\left(x^2-4\right)^3$

여기에는 전체 왼쪽을 나누는 작업이 포함되므로 전체 오른쪽을 곱할 수 있습니다.

$8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3$

$8x^3+96x =0$

공통 요소를 추출합니다.

$x(8x^2+96)=0$

곱셈이 0이 되려면 곱셈의 두 요소 중 하나가 0이어야 합니다. 따라서 각 요소를 0으로 설정합니다.

$\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$