다항식 인수분해란 무엇입니까? 다항식을 더 간단한 요소나 표현식으로 분해할 수 있는 수학적 기법입니다. 그리고 이러한 단순화 덕분에 우리는 여러 대수식 간의 연산을 보다 쉽고 편안하게 수행할 수 있게 될 것입니다. 따라서 이 기사 전체에서 우리는 다항식을 인수분해하는 다양한 방법과 가능한 모든 인수분해 사례에 대해 논의할 것입니다.
다항식을 인수분해하는 방법은 무엇입니까?
자체 솔루션 구조를 갖고 있지만 궁극적으로 동일한 것에 의존 하는 인수분해 방법이 많이 있습니다. 또한 다항식 구성과 관련된 다양한 사례도 찾을 수 있습니다. 이것이 바로 다음 섹션에서 존재하는 모든 절차와 각 절차를 언제 사용해야 하는지에 대해 논의하는 이유입니다. 마지막으로 실제 예제에 적용하여 개념 습득을 마무리하겠습니다.
Ruffini의 법칙을 사용하여 다항식을 인수분해합니다.
다항식을 인수분해할 때 가장 많이 사용되는 방법은 루피니의 법칙(Ruffini’s rule) 입니다. 사용하기 쉽고 결과를 빨리 찾을 수 있기 때문입니다. 일반적인 것은 이 기술을 사용하여 2차보다 큰 다항식을 인수분해하거나 때로는 2차 다항식을 인수분해하는 것입니다. 이를 통해 이 다항식의 근을 매우 그래픽적으로 얻을 수 있습니다. 이 사용법은 이 유형의 수학적 표현의 근원에 초점을 맞춘 다음 섹션에서 설명될 것입니다.
Ruffini를 사용하여 다항식을 인수분해하는 방법은 무엇입니까?
기본적으로 피제수 계수를 수평선에 쓰고 다항식의 가능한 근의 값을 측면에 써야 합니다. 가능하다고 말하는 이유는 0과 같은 나머지를 얻을 수 있는 제수를 찾아야 하기 때문입니다. 그렇지 않으면 이 번호는 유효한 루트가 아니므로 계속 시도해야 합니다.
팁으로, 독립항(가로선의 마지막 값)의 제수만 시도해 보는 것이 좋습니다. 따라서 선택한 숫자가 올바른지 확인하려면 다음 계산 순서를 따르면 됩니다.
계수를 줄이고 테스트 중인 근에 곱한 다음 다음 계수 아래에 쓰고 수직 덧셈을 수행합니다. 이 단계를 끝까지 반복하면 되며, 완료되면 이 값이 올바른지 아닌지 알 수 있습니다. 나머지가 0인 숫자만 유효하기 때문입니다.
따라야 할 수학적 절차가 명확하지 않은 경우 이 텍스트 왼쪽 열의 예를 살펴보세요. 또한 다음 다항식을 인수분해해 보는 것이 좋습니다: x³ + 2x² – x – 2 (예제 기준). 마지막으로, 연습 문제를 올바르게 풀었는지 여부를 확인하려면 결과를 다음과 비교할 수 있습니다.
- 과잉 표현 = x² + 3x + 2
- 나머지 = 0
이제 인수분해에 Ruffini를 적용하는 방법 에 대해 간략하게 설명하겠습니다. 이 수학적 리소스가 어떻게 사용되는지 자세히 알고 싶다면 링크된 마지막 기사에 액세스하는 것이 좋습니다. 거기에 모든 것이 잘 설명되어 있기 때문입니다. 즉, Ruffini의 규칙을 사용하여 다항식을 인수분해하는 방법을 설명하는 것부터 시작하겠습니다.
- 그리드를 그립니다. 위 이미지에서 볼 수 있듯이 Ruffini를 만들 상자를 만듭니다. 기본적으로 수식의 계수를 수평으로 순서대로 작성해야 하며 값이 0인 계수를 남기지 않아야 합니다. 결국, 이미지의 것과 유사하지만 다항식의 값을 갖는 표현을 갖게 됩니다.
- 근을 계산합니다. 구조를 그리고 모든 숫자가 올바르게 쓰여졌는지 확인한 후에는 근 계산을 진행합니다. 이 목록 바로 위에서 설명한 계산 순서(그림 포함)에 따라 근을 찾아야 합니다.
- 근을 (x – a) 형식으로 표현합니다. 다항식의 근을 모두 가지면 다음 형식(x – a)으로 표현해야 합니다. a가 우리가 얻은 값이라는 점을 고려하면, 예를 들어 결과 x = 2, x = -2 및 x = 4로 추출한 경우 (x – 2), (x + 2) 및 ( x – 4).
- 우리는 단일 표현식으로 모든 요소를 수집합니다. 마지막으로, 올바른 형식으로 표현된 모든 근이 이미 있으면 단일 대수 표현식으로 수집하면 됩니다. 이전 예를 계속하면 다음과 같은 결과를 얻게 됩니다: (x – 2) · (x + 2) · (x – 4).
다항식의 근을 사용하여 다항식을 인수분해합니다.
우리는 Ruffini의 섹션에서 다항식의 근본 개념을 절반 정도 설명했습니다. 그러나 정확한 정의는 다음과 같습니다. 다항식 P(x)의 근은 P(a) = 0 인 숫자 값 a입니다. 따라서 문제의 함수나 다항식을 취소할 수 있는 숫자입니다. 요약하면 다항식을 인수의 곱으로 분해하는 데 사용된다고 말할 수 있습니다.
예를 들어, 다음 표현식 x² − x − 2가 주어지고 Ruffini의 법칙을 사용하거나 단순히 2차 방정식 x² − x − 2 = 0을 풀어 이를 인수분해하면 두 개의 x 값 = -1과 x = 2이므로 이를 (x – a) 형식으로 변경하고 합치면 다음 표현식에 도달하게 됩니다: (x + 1) (x − 2), 즉 인수분해 다항식 . 그리고 표현이 하나 이상의 항으로 구성되어 있더라도 이것을 2차보다 큰 다항식에 적용할 수 있습니다.
공통인수 추출을 통한 다항식 인수분해
독립 항이 없는 다항식이나 모든 항에서 공통 인수를 갖는 표현식을 인수분해하려는 경우 이 기술을 사용하여 다항식을 단순화할 수 있습니다. 기본적으로 전체 표현식에 분배 속성을 적용하고 , 반복되는 공통 인수를 제거하고 전체 다항식을 곱하여 이를 추가하는 작업이 포함됩니다. 아래에서는 우리가 이야기한 첫 번째 경우(독립 항이 없는 다항식)의 예를 찾을 수 있습니다.
2x³ + 10x² – 6x = 2x (x² + 5x – 3)
공통 인자의 이중 추출
공통 요인 추출은 여러 변수를 포함하는 보다 복잡한 요인을 추출하여 수행할 수도 있습니다. 또한 기본 표현식 자체에서 파생된 다항식을 추출할 수도 있습니다. 요인 추출의 목적은 대수 표현식을 최대한 단순화하는 것이기 때문에 이러한 유형의 연산을 수행할 때 한계를 설정하지 않는 것이 중요합니다.
주목할만한 항등식을 사용하여 다항식 인수분해하기
주목할만한 제품은 일종의 단순화된 대수식이므로 다항식을 인수분해하는 데 도움이 될 수 있습니다. 따라서 이는 긴 다항식에서 몇 개의 항으로 구성된 작은 공식으로 직접 이동하는 데 도움이 됩니다. 따라서 언제 사용할 수 있는지 빠르게 식별할 수 있도록 주목할만한 신원의 공식을 배우는 것이 좋습니다. 따라서 Ruffini 또는 다른 방법을 사용하여 시간을 절약할 수 있습니다. 다음으로, 배워야 할 세 가지 규칙을 다룰 것입니다.
- 제곱의 차이: a² – b² = (a + b) · (a – b)
- 합의 제곱: a² + 2ab + b² = (a + b)²
- 뺄셈 제곱: a² – 2ab + b² = (a – b)²
그룹화를 통해 다항식 인수분해하기
어떤 경우에는 x² – ax – bx + ab 구조의 다항식을 찾을 수 있는데, 이는 공통 인자 x (x – a) – b (x – a)를 제거하여 단순화할 수 있습니다. 그리고 공통인수를 다시 취하면 (x – a) · (x – b)로 더 단순화될 수 있습니다. 따라서 이 다항식의 근은 x = a 및 x = b가 됩니다. 보시다시피, 이러한 유형의 대수식은 인수분해 및 사용이 매우 쉬운 구조를 가지고 있습니다.
다항식 인수분해 연습
마지막으로, 다항식 인수분해를 연습할 수 있도록 일련의 연습 문제를 제공하고 싶습니다. 이렇게 하면 오늘 설명한 이론을 더 잘 내면화할 수 있습니다. 간단히 말해서, 노트북에 있는 연습문제를 풀고 그 결과를 아래에 제공되는 연습문제와 비교해야 합니다.
- x 4 -1 = (x 2 + 1) (x + 1) (x – 1)
- x 5 + x 4 – x – 1 = (x – 1) (x + 1) 2 (x 2 + 1)
- 9×2 + 30x + 25 = (3x + 5) 2
- x 4 – 3x 3 – 3x 2 + 11x – 6 = (x + 2) (x – 3) (x – 1) 2