항등 또는 행렬 단위

이 페이지에서는 항등(또는 단위) 행렬이 무엇인지와 몇 가지 예를 볼 수 있습니다. 또한 단위 행렬의 속성이 무엇인지, 이러한 유형의 행렬을 사용하는 방법 및 행렬식의 결과가 무엇인지 설명합니다. 마지막으로, 이 매우 특정한 매트릭스가 갖는 응용 분야를 찾을 수 있습니다.

단위 행렬이란 무엇입니까?

항등(또는 단위) 행렬은 모든 요소가 1(1)인 주대각선을 제외하고 0(0)으로 채워진 정사각 행렬입니다.

이것이 단위 행렬 또는 단위 행렬의 정의이지만, 예를 통해 더 명확하게 볼 수 있습니다.

항등 행렬의 예

차원 2 × 2의 단위 행렬의 예

3×3 순서 항등행렬의 예

크기가 4×4인 단위 행렬의 예

보시다시피 단위행렬을 구성하려면 동일한 절차를 따라야 합니다. 주대각선에 1을 놓고 나머지는 모두 0으로 만듭니다. 변경되는 유일한 것은 테이블의 크기입니다.

ID 테이블 속성

단위 행렬, 단위 행렬 또는 동일 행렬은 수학에서 널리 사용되며 이는 이러한 유형의 행렬이 갖는 특성 때문입니다.

단위 행렬은 대각 행렬 의 예입니다.

유니타리 행렬은 상부 및 하부 삼각 행렬 입니다.

단위행렬은 대칭행렬 이기도 합니다.

단위 행렬의 대리인 은 그 자체입니다.

$\displaystyle \text{Adj}(I) =\begin{pmatrix} 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&0 \\[1.1ex] 0&0&1 \end{pmatrix}$

가역행렬이다. 그리고 수반의 경우 단위 행렬의 역행렬은 다음과 같습니다.

$\displaystyle I^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&0 \\[1.1ex] 0&0&1 \end{pmatrix}$

모든 스칼라 행렬은 숫자에 단위 행렬을 곱하여 얻을 수 있습니다.

$\displaystyle 3\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

동일 행렬의 모든 고유값(또는 고유값)은 1입니다.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \ \lambda = 1 \ ; \ \lambda = 1 \ ; \ \lambda = 1$

마지막으로 단위행렬(Identity Matrix)은 순열행렬(Permutation Matrix) 의 한 예이기도 합니다.

항등(또는 단위) 행렬을 사용한 연산

아마도 당신은 이렇게 생각할 것입니다: 이 모든 것이 매우 좋지만… 그리고 항등 행렬은 무엇을 위한 것입니까? 0과 1이 있는 테이블이었다면!

아직 이 주제를 다루지 않았을 수도 있지만 단위 행렬은 수학에서 많이 사용됩니다. 실제로 이러한 유형의 정사각 행렬은 선형 대수학에서 매우 중요합니다. 단위 행렬의 주요 유틸리티는 행렬 연산을 쉽게 계산할 수 있다는 것입니다. 이제 항등 행렬을 사용하여 작업하는 방법을 살펴보겠습니다.

항등 행렬을 사용하여 더하기 및 빼기

다른 요소를 변경하지 않고 행렬의 주대각선에 숫자를 더하거나 빼는 한 가지 방법은 단위 행렬을 사용하는 것입니다. 단위 행렬은 해당 숫자에 한 단위만 더하거나 빼기 때문입니다. 강요:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & 0 & 5 \\[1.1ex] 9 & 6 & -7 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & 1 & 5 \\[1.1ex] 9 & 6 & -6 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\[1.1ex] 8 & -2 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 9 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 4 \\[1.1ex] 8 & -3 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 8 \end{pmatrix}$

먼저 단위 행렬에 스칼라를 곱하여 대각선의 요소에 더 많은 단위를 더하거나 뺄 수도 있습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & 0 & 5 \\[1.1ex] 9 & 6 & -7 \end{pmatrix}+5\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 & -1 \\[1.1ex] -2 & 5 & 5 \\[1.1ex] 9 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 7 & 4 \\[1.1ex] 8 & -2 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 9 \end{pmatrix}-4\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 7 & 4 \\[1.1ex] 8 & -6 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 5 \end{pmatrix}$

행렬과 단위 행렬의 곱셈

행렬에 단위 행렬을 곱하면 중립 요소 로 작용합니다. 즉, 단위 행렬을 곱한 모든 행렬은 동일한 행렬이 됩니다. 다음 예를 살펴보십시오.

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 2 & -4 \\[1.1ex] 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 2 & -4 \\[1.1ex] 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

더욱이, 행렬 곱의 의미는 관련이 없습니다. 즉, 단위 행렬에 오른쪽을 곱하든 왼쪽을 곱하든 상관이 없습니다. 결과는 항상 동일한 행렬이기 때문입니다. 이를 입증하기 위해 이전 연습을 반복하지만 이번에는 항등 행렬에 반대측을 곱합니다.

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \displaystyle \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 2 & -4 \\[1.1ex] 1 & 0 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 1 & 0 \\[1.1ex] 5 & 2 & -4 \\[1.1ex] 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}$

항등 행렬의 힘

단위 행렬의 거듭제곱은 행렬을 높이는 지수와 행렬의 차원에 관계없이 항상 단위 행렬을 생성합니다.

$\left.\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right. ^2 =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\left.\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}\right. ^3 =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\left.\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1.1ex] 0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex] 0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0& 0 &0&1\end{pmatrix}\right. ^5 =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1.1ex] 0 & 1 & 0 & 0\\[1.1ex] 0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0& 0 &0&1\end{pmatrix}$

$\left.\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\right. ^n =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

항등 행렬의 행렬식

이미 상상하신 것처럼 Identity(또는 Unit) 행렬의 행렬식은 행렬의 차원에 관계없이 항상 1 과 같습니다 .

$\displaystyle\begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{vmatrix} = \bm{1}$

$\displaystyle\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\bm{1}$

$\displaystyle\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\bm{1}$

항등 행렬 응용

마지막으로, 이 모든 정보를 바탕으로 항등 행렬이 왜 그렇게 중요한지에 대한 일반적인 질문에 답하는 방법을 이미 알고 계실 것입니다. 진정하세요. 나도 전에도 이 질문을 스스로에게 물어본 적이 있습니다. 😂

여러분도 알다시피, 단위 행렬은 많은 용도로 사용되며 이것이 바로 그것이 매우 흥미로운 이유입니다. 단위 행렬의 용도 중 하나는 연산입니다. 왜냐하면 우리가 본 것처럼 행렬 연산을 수행하는 것이 매우 쉽기 때문입니다.

한편, 단위 행렬은 행렬 방정식을 푸는 데에도 사용됩니다. 이를 위해 다음과 같은 역행렬 속성을 사용합니다. 행렬에 역행렬을 곱하면 단위 행렬과 같습니다. 링크를 클릭하면 행렬로 방정식을 푸는 방법을 볼 수 있습니다.

또한 단위행렬은 가우시안(Gaussian) 방법으로 역행렬을 계산하는데도 사용됩니다. 이 방법에서는 단위 행렬 옆에 행렬을 배치하여 더 큰 행렬을 형성합니다. 그런 다음 행에 기본 연산을 적용하여 원래 행렬을 단위 행렬로 변환해야 합니다. 매우 복잡해 보이지만 실제로는 그렇게 많지는 않지만 전체 절차를 적용해야 하므로 더 관심이 있는 경우 웹 페이지의 검색 엔진(위에서 오른쪽으로)에서 행렬 반전 방법을 검색할 수 있습니다.

마지막으로, 항등 행렬은 행렬을 대각화하고 고유값(또는 고유값)을 계산하는 데에도 유용합니다. 단위 행렬이 개입하는 특정 연산을 통해 고유값을 얻는 특성 다항식을 얻을 수 있기 때문입니다. 그러나 이는 이미 매우 고급 주제이기 때문에 예제와 이를 설명하는 연습 문제를 해결하는 행렬 대각화 전용 페이지가 있습니다. 더 관심이 있으시면 검색 엔진(오른쪽 상단)에서 이 가이드를 검색하실 수 있습니다.

항등식 또는 행렬 단위