함수의 변곡점 -

여기에서는 함수의 변곡점이 무엇인지, 그리고 함수의 모든 변곡점을 찾는 방법을 설명합니다. 또한 함수의 곡률 및 변곡점에 대한 단계별 연습을 찾을 수 있습니다.

함수의 변곡점은 무엇입니까?

함수의 변곡점은 함수의 그래프가 곡률을 변경하는 지점입니다. 즉, 변곡점에서 함수가 오목에서 볼록으로 또는 그 반대로 변경됩니다.

함수에 변곡점이 있는지 확인하는 방법

변곡점의 정의를 바탕으로 특정 점이 함수의 변곡점인지 확인하는 방법을 살펴보겠습니다.

함수에는 2차 도함수가 상쇄되고 3차 도함수가 0이 아닌 지점에 변곡점이 있습니다.

$\left.\begin{array}{l}f''(a)=0\\[2ex]f'''(a)\neq 0\end{array}\right\} \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un punto de inflexi\'on}$

예를 들어, 다음 3차 함수의 변곡점을 계산합니다.

$f(x)=x^3-5x$

먼저 함수의 2차 및 3차 도함수를 계산합니다.

$f'(x)=3x^2-5$

$f''(x)=6x$

$f'''(x)=6$

이제 2차 도함수를 0으로 설정하고 결과 방정식을 풉니다.

$6x=0$

$x=0$

그러면 x=0 지점은 이 지점에서 3차 도함수가 0이 아닌 경우 함수의 변곡점이 됩니다. 우리의 경우 3차 도함수는 항상 6입니다.

$f'''(0)=6\neq 0$

따라서 x=0은 함수의 변곡점입니다.

곡률을 연구하고 함수의 변곡점을 찾는 방법

우리는 방금 전환점을 찾는 방법을 살펴보았습니다. 그러나 우리는 일반적으로 함수의 곡률, 즉 함수의 오목함과 볼록함을 결정하고 거기에서 변곡점을 계산하는 경향이 있습니다.

곡률을 통해 함수의 변곡점을 찾으려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

함수의 정의역에 속하지 않는 점을 찾습니다.
함수의 1차 도함수와 2차 도함수를 계산합니다.
2차 도함수의 근을 구합니다. 즉, 다음을 풀어 2차 도함수를 상쇄하는 점을 계산합니다.
$f''(x)=0$

.
도함수의 근과 함수의 정의역에 속하지 않는 점으로 구간을 만듭니다.
각 구간의 한 지점에서 2차 도함수 값을 계산합니다.
2차 도함수의 부호는 이 구간에서 함수의 오목함이나 볼록함을 결정합니다.
- 함수의 2차 도함수가 양수이면 함수는 이 구간에서 볼록합니다 .
- 함수의 2차 도함수가 음수이면 함수는 이 구간에서 오목합니다 .
변곡점은 함수가 볼록에서 오목으로 또는 그 반대로 변경되는 지점입니다.

이 절차를 사용하여 함수의 변곡점이 어떻게 계산되는지 확인할 수 있도록 아래 예제를 단계별로 풀어보겠습니다.

곡률을 연구하고 다음 다항식 함수의 변곡점을 찾습니다.

$f(x)=x^4-6x^2$

가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의 영역을 계산하는 것입니다. 이는 다항식 함수이므로 함수의 정의역은 실수로 구성됩니다. 즉 연속 함수입니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

함수의 영역을 계산한 후에는 함수가 충족되는 지점을 연구해야 합니다.

$f''(x)=0$

따라서 먼저 함수의 1차 도함수를 계산합니다.

$f(x)=x^4-6x^2 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x^3-12x$

다음으로 함수의 2차 도함수를 계산합니다.

$f'(x)=4x^3-12x \ \longrightarrow \ f''(x)= 12x^2-12$

이제 2차 도함수를 0으로 설정하고 방정식을 풉니다.

$f''(x)=0$

$12x^2-12=0$

$12x^2=12$

$x^2=\cfrac{12}{12}$

$x^2=1$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{1}$

$x=\pm1$

일단 함수의 도메인을 계산하고

$f''(x)=0$

, 수직선에서 발견된 모든 중요한 점을 나타냅니다.

이제 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 평가하여 함수가 오목인지 볼록인지 확인합니다. 따라서 우리는 각 간격(중요점이 아님)에서 점을 취하고 이 점에서 2차 도함수의 부호가 무엇인지 살펴봅니다.

$f''(x)=12x^2-12$

$f''(-2) = 12\cdot (-2)^2-12 =36 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(0) = 12\cdot 0^2-12 = -12 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(2) = 12\cdot 2^2-12=36 \ \rightarrow \ \bm{+}$

2차 도함수가 양수이면 함수가 볼록함을 의미합니다.

$(\bm{\cup})$

, 그리고 2차 도함수가 음수이면 이는 함수가 오목함을 의미합니다.

$(\bm{\cap})$

. 따라서 함수의 오목 및 볼록 간격은 다음과 같습니다.

볼록한

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-\infty,-1) \cup (1,+\infty)}$

오목한

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-1,1)}$

게다가 x=-1에서 함수는 볼록에서 오목으로 바뀌므로 x=-1은 함수의 변곡점입니다 . 그리고 x=1에서 함수는 오목에서 볼록으로 변하므로 x=1도 함수의 변곡점입니다 .

마지막으로 변곡점의 Y 좌표를 찾기 위해 원래 함수에서 찾은 점을 대체합니다.

$f(-1)=(-1)^4-6(-1)^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (-1,-5)$

$f(1)=1^4-6\cdot 1^2 = 1-6 \cdot 1 = -5 \ \longrightarrow \ (1,-5)$

따라서 함수의 전환점은 다음과 같습니다.

전환점:

$\bm{(-1,-5)}$

그리고

$\bm{(1,-5)}$

아래에서 연구된 함수의 그래픽 표현을 볼 수 있습니다.

그래프에서 볼 수 있듯이 함수는 볼록한 것부터 시작합니다.

$(\cup)$

오목하다

$(\cap)$

에 대한

$(-1,-5)$

곡률이 변하기 때문이죠. 반면에 함수는 오목함수에서 시작됩니다.

$(\cap)$

볼록하다

$(\cup)$

에 대한

$(1,-5)$

해결 터닝 연습

연습 1

다음 지수 함수의 변곡점과 오목 및 볼록 간격을 계산합니다.

$f(x) = xe^x$

솔루션 보기

가장 먼저 해야 할 일은 함수의 정의 영역을 계산하는 것입니다. 함수는 실수로만 구성되는 다항식 함수(x)와 정의역도 실수로 구성되는 지수 함수(e ^x )로 구성됩니다. 따라서 함수의 정의역은 실수로 구성됩니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}$

이제 함수의 미분을 계산해 보겠습니다. 이 경우 함수는 두 함수의 곱으로 구성되므로 함수를 파생하려면 곱의 파생 공식을 적용해야 합니다.

$f'(x)=1 \cdot e^x+ x \cdot e^x$

$f'(x)=e^x +xe^x$

다음으로 함수의 2차 도함수를 계산합니다.

$f''(x)= e^x + 1 \cdot e^x+ x \cdot e^x$

$f''(x)=e^x +e^x + xe^x = 2e^x +xe^x$

2차 도함수를 0으로 설정하고 방정식을 풉니다.

$f''(x)= 0$

$2e^x+xe^x= 0$

공통 요소를 추출합니다.

$e^x(2+x)=0$

곱셈이 0이 되려면 곱셈의 두 요소 중 하나가 0이어야 합니다. 따라서 각 요소를 0으로 설정합니다.

$\displaystyle e^x\cdot(2+x) =0 \longrightarrow \begin{cases} e^x=0 \ \color{red}\bm{\times}\color{black} \\[2ex] 2+x=0 \ \longrightarrow \ x= - 2 \end{cases}$

다른 숫자로 올림된 숫자는 결코 0이 될 수 없습니다. 따라서 방정식은

$e^x=0$

해결책이 없습니다.

오른쪽에서 얻은 모든 특이점을 나타냅니다.

이제 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 평가하여 함수가 오목인지 볼록인지 확인합니다. 이를 위해 각 간격의 점을 선택하고 해당 점에서 어떤 기호가 2차 도함수를 갖는지 살펴봅니다.

$f''(-3)= 2e^{-3} +(-3)\cdot e^{-3} = 0,1 - 0,15 = -0,05\ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(0)= 2e^0 +0\cdot e^0 = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 1 =2+0= 2 \ \rightarrow \ \bm{+}$

2차 도함수가 양수이면 함수가 볼록함을 의미합니다.

$(\bm{\cup})$

, 그리고 2차 도함수가 음수이면 이는 함수가 오목함을 의미합니다.

$(\bm{\cap})$

. 따라서 오목 및 볼록 간격은 다음과 같습니다.

볼록한

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-2,+\infty)}$

오목한

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,-2)}$

또한 함수는 x=-2에서 오목에서 볼록으로 변경되므로 x=-2는 함수의 변곡점입니다 .

마지막으로 원래 함수에서 찾은 변곡점을 대체하여 점의 Y 좌표를 찾습니다.

$f(-2) = (-2)\cdot e^{-2} =-2e^{-2} \ \longrightarrow \ (-2,-2e^{-2})$

결론적으로 이 함수의 유일한 전환점은 다음과 같습니다.

전환점:

$\bm{(-2,-2e^{-2})}$

연습 2

오목함과 볼록함의 간격을 연구하고 다음 유리 함수의 변곡점을 찾습니다.

$\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{x^2-4}$

솔루션 보기

먼저 함수의 정의역을 계산해야 합니다. 이것은 유리함수이므로 분모를 0으로 설정하여 어떤 숫자가 함수의 정의역에 속하지 않는지 확인합니다.

$x^2-4= 0$

$x^2=4$

$\sqrt{x^2}=\sqrt{4}$

$x=\pm 2$

이는 x가 -2 또는 +2일 때 분모가 0이 된다는 것을 의미합니다. 따라서 함수는 존재하지 않습니다. 따라서 함수의 정의역은 x=-2와 x=+2를 제외한 모든 숫자로 구성됩니다.

$\text{Dom } f= \mathbb{R}-\{-2, +2 \}$

둘째, 함수의 1차 도함수를 계산합니다.

$f(x)=\cfrac{x^3}{x^2-4} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{3x^2 \cdot (x^2-4) - x^3 \cdot 2x }{\left(x^2-4\right)^2}$

$f'(x)= \cfrac{3x^4-12x^2-2x^4}{\left(x^2-4\right)^2} = \cfrac{x^4-12x^2}{\left(x^2-4\right)^2}$

그리고 나서 우리는 이차 도함수를 푼다:

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 2\left(x^2-4\right)\cdot 2x }{ \left(\left(x^2-4\right)^2 \right)^2}$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^2 - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\left(x^2-4\right) }{\left(x^2-4\right)^4 }$

모든 항에 다음을 곱합니다.

$(x^2-4)$

. 따라서 분수를 단순화할 수 있습니다.

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right)^{\cancel{2}} - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x\cancel{\left(x^2-4\right)} }{\left(x^2-4\right)^{\cancelto{3}{4}} }$

$f''(x)= \cfrac{\left(4x^3-24x\right)\cdot \left(x^2-4\right) - \left(x^4-12x^2\right)\cdot 4x}{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - \left(4x^5-48x^3\right) }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{4x^5-16x^3-24x^3+96x - 4x^5+48x^3 }{\left(x^2-4\right)^3 }$

$f''(x)= \cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }$

이제 함수의 2차 도함수 근을 계산해 보겠습니다.

$f''(x)= 0$

$\cfrac{8x^3+96x }{\left(x^2-4\right)^3 }=0$

용어

$\left(x^2-4\right)^3$

여기에는 전체 왼쪽을 나누는 작업이 포함되므로 전체 오른쪽을 곱할 수 있습니다.

$8x^3+96x =0\cdot \left(x^2-4\right)^3$

$8x^3+96x =0$

공통 요소를 추출합니다.

$x(8x^2+96)=0$

곱셈이 0이 되려면 곱셈의 두 요소 중 하나가 0이어야 합니다. 따라서 각 요소를 0으로 설정합니다.

$\displaystyle x\cdot(8x^2+96) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x =0} \\[2ex] 8x^2+96=0 \ \longrightarrow \ x^2=\cfrac{-96}{8}} = -12 \ \longrightarrow \ x= \sqrt{-12} \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}$

$x= \sqrt{-12}$

실수에는 음의 근이 없기 때문에 해결책이 없습니다.

이제 얻은 모든 임계점, 즉 영역에 속하지 않는 점(x=-2 및 x=+2)과 2차 도함수를 취소하는 점(x=0)을 선에 나타냅니다.

그리고 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 평가하여 함수가 오목인지 볼록인지 확인합니다. 따라서 우리는 각 구간의 한 점을 취하고 그 점에서 어떤 부호가 2차 도함수를 갖는지 살펴봅니다.

$f''(-3)=\cfrac{8(-3)^3+96(-3) }{\left((-3)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-504}{125}=-4,03 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(-1)=\cfrac{8(-1)^3+96(-1) }{\left((-1)^2-4\right)^3 } = \cfrac{-104}{-27}=3,85 \ \rightarrow \ \bm{+}$

$f''(1)=\cfrac{8\cdot1^3+96\cdot 1 }{\left(1^2-4\right)^3 } = \cfrac{104}{-27}=-3,85 \ \rightarrow \ \bm{-}$

$f''(3)=\cfrac{8\cdot 3^3+96\cdot 3 }{\left(3^2-4\right)^3 } = \cfrac{504}{125}=4,03 \ \rightarrow \ \bm{+}$

2차 도함수가 양수이면 함수가 볼록함을 의미합니다.

$(\bm{\cup})$

, 그리고 2차 도함수가 음수이면 이는 함수가 오목함을 의미합니다.

$(\bm{\cap})$

. 따라서 오목 및 볼록 간격은 다음과 같습니다.

볼록한

$(\bm{\cup})$

$\bm{(-2,0)\cup (2,+\infty)}$

오목한

$(\bm{\cap})$

$\bm{(-\infty,-2)\cup (0,2)}$

함수는 세 지점에서 곡률을 변경하므로 유리 함수는 원칙적으로 x=-2, x=0 및 x=2의 세 가지 변곡점을 갖습니다. 그러나 x=-2와 x=+2에서 곡률의 변화가 있더라도 이는 함수의 영역에 속하지 않기 때문에 변곡점이 아닙니다. 반면 x=0에서는 곡률의 변화가 있으며 이는 함수에 속하므로 x=0이 함수의 유일한 변곡점입니다.

남은 것은 변곡점의 Y 좌표를 계산하는 것입니다.

$\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{0^2-4} =\frac{0}{-4}=0\ \longrightarrow \ (0,0)$