직교행렬 - 수학

이 페이지에서는 직교 행렬이 무엇인지, 행렬의 역행렬과 어떤 관계가 있는지 살펴보겠습니다. 완벽하게 이해하기 위해 몇 가지 예도 볼 수 있습니다. 또한, 직교 행렬을 확인하는 공식을 가르쳐서 이를 빠르게 찾는 방법을 알 수 있습니다. 마지막으로 이러한 특정 행렬의 속성과 응용뿐만 아니라 일반적인 해결 시험 연습도 확인할 수 있습니다.

직교 행렬이란 무엇입니까?

직교행렬의 정의는 다음과 같습니다.

직교 행렬은 전치(또는 전치)를 곱하면 단위 행렬과 같은 정사각형 실수 행렬입니다. 즉, 다음 조건이 충족됩니다.

$A\cdot A^t = A^t \cdot A =I$

금

$A$

직교 행렬이고

$A^t$

전치된 행렬을 나타냅니다.

이 조건이 충족되려면 직교 행렬의 열과 행이 직교 단위 벡터여야 합니다. 즉, 정규 직교 기저를 형성해야 합니다. 이러한 이유로 일부 수학자들은 이를 정규직교행렬(orthonormal matrices)이라고 부르기도 합니다.

직교행렬의 역행렬

직교 행렬의 개념을 설명하는 또 다른 방법은 역행렬을 이용하는 것입니다. 왜냐하면 직교 행렬의 전치(또는 전치) 행렬은 그 역행렬과 동일하기 때문입니다.

이 정리를 완전히 이해하려면 행렬을 반전시키는 방법을 아는 것이 중요합니다. 이 링크에서는 역행렬과 모든 속성에 대한 자세한 설명을 찾을 수 있으며 단계별로 연습할 수 있는 연습 문제도 있습니다.

직교 행렬의 역행렬은 직교 행렬 조건과 역행렬의 주요 속성을 사용하여 전치와 동일하다는 것을 쉽게 표시할 수 있습니다.

$\left.\begin{array}{c} A \cdot A^t =I \\[2ex] A \cdot A^{-1} = I\end{array} \right\} \longrightarrow \ A^t=A^{-1}$

따라서 직교 행렬은 항상 역행렬이 됩니다. 즉, 정규 또는 비퇴화 행렬이 됩니다.

다음으로 모든 것의 개념 이해를 돕기 위해 직교행렬의 몇 가지 예를 살펴보겠습니다.

2×2 직교 행렬의 예

다음 행렬은 2×2 차원의 직교 행렬입니다.

전치에 의한 곱을 계산하여 직교임을 확인할 수 있습니다.

$\displaystyle A\cdot A^t$

$\displaystyle A\cdot A^t= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

결과는 동일 행렬을 제공하므로 A가 직교 행렬임을 확인합니다.

3×3 직교 행렬의 예

다음 행렬은 3×3차원의 직교행렬이다.

행렬 A에 전치를 곱하여 직교임을 보여줄 수 있습니다.

$\displaystyle A\cdot A^t = \begin{pmatrix}0.8&0.6&0\\[1.1ex] -0.6&0.8&0\\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0.8&-0.6&0\\[1.1ex] 0.6&0.8&0\\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}$

해가 유니타리 행렬이므로 A가 직교 행렬임을 보여줍니다.

2×2 직교 행렬을 찾는 공식

그런 다음 차수 2의 모든 직교 행렬이 동일한 패턴을 따른다는 증거를 볼 수 있습니다.

크기가 2×2인 일반 행렬을 생각해 보세요.

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

이 행렬이 직교하려면 다음 행렬 방정식을 충족해야 합니다.

$\displaystyle A\cdot A^t =I$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b \\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & c \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

행렬 곱셈을 풀면 다음 방정식을 얻습니다.

$\displaystyle \begin{pmatrix} a^2+b^2 & ac+bd \\[1.1ex] ac+bd & c^2+d^2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{array}{c}a^2+b^2=1 \\[2ex] ac+bd=0 \\[2ex] c^2+d^2=1 \end{array} \qquad \begin{array}{l} (1) \\[2ex] (2) \\[2ex] (3) \end{array}$

자세히 살펴보면 이러한 등식은 기본적인 피타고라스 삼각법 관계와 매우 비슷해 보입니다.

$\displaystyle \sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1$

결과적으로, 방정식 (1)과 (3)을 만족하는 항은 다음과 같습니다.

$\displaystyle \begin{array}{l} a = \cos \theta \qquad \qquad \qquad c = \sin\phi \\[2ex] b = \sin \theta \qquad \qquad \qquad d = \cos \phi\end{array}$

또한 두 번째 방정식에 값을 대입하여 두 각도 사이의 관계를 얻습니다.

$\displaystyle ac+bd=0$

$\displaystyle \cos\theta\sin\phi+\sin\theta\cos\phi=0$

$\displaystyle \tan\phi=-\tan\theta$

즉, 다음 두 가지 조건 중 하나를 충족해야 합니다.

$\displaystyle \text{si} \quad c=\sin\phi=-\sin\theta \quad \longrightarrow \quad d=\cos\phi=\cos\theta$

$\displaystyle \text{si} \quad d=\cos \phi=-\cos \theta \quad \longrightarrow \quad c=\sin\phi=\sin\theta$

따라서 결론적으로 직교 행렬은 다음 두 행렬 중 하나의 구조를 가져야 합니다.

금

$\theta$

실수입니다.

실제로 예를 들어 다음 값을 부여하면

$\displaystyle\theta=\frac{\pi}{2}$

첫 번째 구조를 취하면 “2×2 직교 행렬의 예” 섹션에서 직교임을 확인한 행렬을 얻을 것입니다.

$\displaystyle M_1 \left(\theta =\frac{\pi}{2}\right)=\begin{pmatrix} \cos \cfrac{\pi}{2} &\sin \cfrac{\pi}{2} \\[4ex] -\sin \cfrac{\pi}{2} & \cos \cfrac{\pi}{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{\pi}{2}}0 &1 \\[2ex]\vphantom{\frac{\pi}{2}} -1 & 0 \end{pmatrix}$

직교행렬 속성

이 유형의 매트릭스의 특징은 다음과 같습니다.

직교 행렬은 항상 반전될 수 있으므로 특이 행렬이 될 수 없습니다. 이런 의미에서 직교행렬의 역행렬은 또 다른 직교행렬이다.

모든 직교 행렬은 대각화될 수 있습니다. 그런 다음 직교 행렬은 직교 대각선화 가능하다고 말합니다.

직교 행렬의 모든 고유값 또는 고유값은 1과 같은 모듈러스를 갖습니다.

실수로만 구성된 직교 행렬도 일반 행렬입니다.

복소수가 있는 환경에서 직교 행렬의 유사체는 단일 행렬입니다.

분명히 단위행렬은 직교행렬이다.

n × n 차원의 직교 행렬 세트와 행렬 곱의 연산은 직교 그룹이라는 그룹을 형성합니다. 즉, 두 직교 행렬의 곱은 다른 직교 행렬과 동일합니다.

또한 직교 행렬에 전치를 곱한 결과는 크로네커 델타로 표현될 수 있습니다.

$\displaystyle (A\cdot A^{t})_{ij} = \delta_{ij}=\begin{cases}1 & \mbox{si }i = j, \\[2ex] 0 & \mbox{si }i \ne j\end{cases}$

마지막으로 직교행렬의 행렬식은 항상 +1 또는 -1입니다.

$\displaystyle \text{det}(A)=\pm 1$

직교 행렬의 해결 운동

그런 다음 직교 행렬에 대한 연습 문제를 해결해 보겠습니다.

다음과 같은 3차 정사각 행렬이 주어지면,
$a$

그리고

$b$

직교하게 하려면:

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&a&1\\[1.1ex] b&1&b\\[1.1ex] 1&a&a\end{pmatrix}$

행렬의 직교성이 충족되려면 행렬의 전치 곱이 항등 행렬과 같아야 합니다. 그래서:

$\displaystyle A\cdot A^t = I$

$\displaystyle \frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&a&1\\[1.1ex] b&1&b\\[1.1ex] 1&a&a\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{3}\begin{pmatrix}a&b&1\\[1.1ex] a&1&a\\[1.1ex] 1&b&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0\\[1.1ex] 0&1&0\\[1.1ex] 0&0&1\end{pmatrix}$

행렬을 곱합니다.

$\displaystyle \frac{1}{9}\begin{pmatrix}2a^2+1&ab+a+b&2a+a^2\\[1.5ex] ab+a+b&2b^2+1&b+a+ab\\[1.5ex] 2a+a^2&b+a+ab&1+2a^2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1&0&0\\[1.5ex] 0&1&0\\[1.5ex] 0&0&1\end{pmatrix}$