유사하거나 유사한 행렬

7월 6, 2023

이 페이지에서는 유사한 행렬(유사 행렬이라고도 함)에 대한 설명을 찾을 수 있습니다. 게다가, 우리는 여러분이 의심할 여지가 없도록 두 개의 유사한 행렬과 이러한 유형의 행렬의 모든 속성에 대한 명확한 예를 보여줍니다. 마지막으로, 합동 행렬과 어떤 관련이 있는지도 확인할 수 있습니다.

유사한(또는 유사한) 행렬은 무엇입니까?

유사 행렬의 정의는 다음과 같습니다.

두 개의 행렬

$A$

그리고

$B$

행렬이 존재하는 경우 유사(또는 유사) 합니다.

$P$

다음 조건이 충족됩니다.

$P^{-1}AP = B$

또는 이에 상응하는 것:

$AP = PB$

실제로 매트릭스는

$P$

기본 변경 매트릭스 역할을 합니다. 따라서 이 방정식이 의미하는 바는 행렬이 다음과 같다는 것입니다.

$A$

다른 진수로 표현될 수 있습니다(

$P$

), 이는 행렬을 생성합니다

$B$

.

이 용어는 유사성 변환 이라고도 부를 수 있습니다. 실제로 행렬을 변환하고 있기 때문입니다.

$A$

매트릭스에서

$B$

.

분명히 매트릭스

$P$

이는 정규 행렬이거나 비축퇴 행렬(0이 아닌 행렬식)이어야 합니다.

반면에 두 행렬이 다음 표현식과 유사하다는 것을 나타낼 수 있습니다.

유사하거나 유사한 행렬에 대한 설명

이 행렬 클래스는 선형 대수학에서 보이는 것보다 더 중요합니다. 행렬을 대각화하는 절차는 행렬 유사성의 개념을 기반으로 하기 때문에 대각화 가능한 행렬에 주로 사용됩니다.

실제로 행렬을 대각화하는 과정에는 유사한 행렬을 계산하는 동시에 대각행렬도 포함됩니다. 행렬을 대각화하는 방법 에서 이것이 어떻게 수행되는지 확인할 수 있습니다.

유사하거나 유사한 행렬의 예

그런 다음 개념 동화를 마무리하기 위해 2×2 차원의 유사한 행렬의 예를 살펴보겠습니다.

정사각형 행렬 A와 B는 역행렬 P를 통해 서로 유사합니다.

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}-1&2\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix} \qquad B= \begin{pmatrix}-5&-3\\[1.1ex] 6&5\end{pmatrix}$

$\displaystyle P= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] -1&0\end{pmatrix}$

이것이 서로 유사한 행렬임을 보여주기 위해 먼저 P의 역행렬을 계산해야 합니다.

$\displaystyle P^{-1}= \begin{pmatrix}0&-1\\[1.1ex] 1&2\end{pmatrix}$

이제 두 행렬의 유사성을 정의하는 행렬 곱을 수행하여 두 행렬의 유사성을 확인합니다.

$\displaystyle P^{-1}AP = B \quad ?$

유사하거나 유사한 2x2 행렬의 예

$\displaystyle P^{-1}AP = B$

✅

예, 유사성 관계가 충족되므로 유사 행렬입니다.

유사한 매트릭스 속성

두 개의 유사한 행렬 A와 B는 다음과 같은 특성을 공유합니다.

같은 순위.

$rg(A)=rg(B)$

두 행렬의 행렬식은 동일합니다.

$det(A)=det(B)$

동일한 추적.

$tr(A)=tr(B)$

동일한 고유값 (또는 고유값). 그러나 고유벡터(또는 고유벡터)는 일반적으로 다릅니다.

동일한 특성 다항식과 최소 다항식.

행렬을 전치하는 것은 원래 행렬과 유사합니다.

행렬 B는 행렬 A의 행에 기본 연산을 적용하여 찾을 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.

분명히 유사성이 반영됩니다. 즉, A가 B와 유사하면 B도 A와 유사합니다.

또한 행렬의 유사성도 대칭입니다. 즉, 행렬 P를 사용하여 A(B)와 유사한 행렬을 얻을 수 있다면 동일한 행렬 P를 사용하여 B(A)와 유사한 행렬을 얻을 수도 있습니다.

$B=P^{-1}AP$

$A=PBP^{-1}$

게다가 유사성은 전이적입니다. 따라서 행렬 A가 행렬 B와 유사하고 행렬 B가 행렬 C와 유사하다면 행렬 A도 행렬 C와 유사합니다.

$\left. \begin{array}{l}A\sim B \\[2ex] B \sim C \end{array}\right\} \longrightarrow A \sim C$

마지막으로, 각 다이는 톱니형 다이와 유사합니다. 그리고 이 속성으로부터 우리는 다음과 같은 결과를 추론할 수 있습니다: 모든 정사각 행렬은 삼각 행렬과 유사합니다.

합동 행렬

반면에 행렬 사이에는 또 다른 매우 유사한 관계가 있지만 역행렬 대신 전치 행렬을 사용합니다. 이것을 합동 이라고 합니다.

다음 등식이 충족되는 역행렬 P가 존재하는 경우 두 행렬 A와 B는 합동 입니다.

$P^tAP = B$

보시다시피, 이것은 유사한 행렬과 유사하지만 행렬이 전치된 것입니다.

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