수직면 - Mathority

이 페이지에서는 수직 평면이 무엇인지, 두 평면이 수직인지 확인하는 방법, 수직 평면을 계산하는 방법, 수직 평면의 예제 및 해결 연습 등을 찾을 수 있습니다.

두 개의 수직면은 무엇입니까?

분석 형상에서 두 평면은 직각(90°)으로 교차할 때 수직입니다.

또한 두 수직 평면의 법선 벡터도 서로 직교합니다.

분명히 두 개의 수직 평면 사이의 거리는 선에서 교차하기 때문에 항상 0입니다. 아주 간단해 보이지만 두 평면 사이의 거리 개념은 매우 중요하므로 궁금한 점이 있으면 링크를 방문하는 것이 좋습니다.

반면, 수직으로 위치한 두 평면은 평면 사이에서 유일하게 가능한 상대 위치가 아닙니다. 공간(R3)의 두 평면도 교차하거나 평행하거나 일치할 수 있기 때문입니다.

한 평면이 다른 평면과 수직인지 어떻게 알 수 있나요?

수직 평면의 정의를 확인한 후에는 두 평면이 수직인지 아닌지를 아는 방법을 살펴보겠습니다.

두 평면은 법선 벡터가 수직일 때 수직입니다. 따라서 두 평면이 서로 수직인지 확인하려면 법선 벡터가 이루는 각도를 계산해야 하며, 이 각도가 90°이면 평면이 수직이라는 의미입니다.

따라서 두 평면의 수직성을 찾으려면 두 벡터 사이의 각도를 계산하는 방법을 알아야 합니다. 수행 방법을 기억하지 못하는 경우 링크를 참조하면 설명과 두 벡터 사이의 각도를 결정하는 데 필요한 공식을 찾을 수 있습니다. 또한, 예시를 보고 연습 문제를 풀어볼 수도 있습니다.

그러나 간단히 말해서 두 벡터의 내적이 0일 때 두 벡터는 수직입니다. 따라서 연관된 법선 벡터의 내적이 0일 때 두 평면은 수직이 됩니다.

두 개의 수직 평면의 예

예를 들어, 다음 두 평면이 수직인지 확인해 보겠습니다.

$\pi_1 : \ 3x-4y+2z+5 =0$

$\pi_2 : \ 2x+5y+7z-6 =0$

평면에 수직인 벡터의 좌표 X, Y, Z는 일반(또는 암시적) 방정식의 계수 A, B, C와 일치합니다. 따라서 각 평면에 대한 법선 벡터는 다음과 같습니다.

$\vv{n}_1 =(3,-4,2)$

$\vv{n}_2 =(2,5,7)$

이제 법선 벡터 사이의 내적을 계산하여 두 평면이 수직인지 확인합니다.

$\begin{aligned} \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2 & = (3,-4,2)\cdot (2,5,7) \\[2ex] & = 3 \cdot 2 +(-4) \cdot 5 +2 \cdot 7 \\[2ex] &=6-20+14 \\[2ex] &\bm{= 0}\end{aligned}$

두 법선 벡터 사이의 내적은 0이므로 두 평면은 서로 수직입니다 .

한 점에서 선에 수직인 평면을 계산합니다.

일반적인 평면과 선 문제는 주어진 점에서 선에 수직인 평면의 방정식을 찾는 것입니다. 그럼 다음에는 예시를 통해 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

직선에 수직인 평면의 방정식을 구합니다.
$r$

에 대한

$P,$

직선적으로 말하며 다음을 가리킨다.

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=3-2t \\[1.7ex] y=-1+4t \\[1.7ex] z=1+t \end{cases} \qquad \qquad P(1,3,-2)$

먼저, 문제의 평면에 수직인 벡터를 찾아야 합니다. 그리고 직선처럼

$r$

평면에 수직인 경우 법선 벡터는 선의 방향 벡터와 일치합니다.

이 경우, 라인

$r$

매개변수 방정식의 형태이므로 방향 벡터의 구성요소는 매개변수 앞의 항입니다.

$t:$

$\vv{r} =(-2,4,1)$

따라서 평면에 수직인 벡터는 선의 방향 벡터와 동일합니다.

$\vv{n} =(-2,4,1)$

따라서 계획의 암시적(또는 일반) 방정식은 다음과 같습니다.

$\pi : \ -2x+4y+1z+D=0$

따라서 계수 D의 값을 결정하는 것으로 충분합니다. 이를 위해 평면에 속한다고 말하는 점의 좌표를 방정식으로 대체합니다.

$P(1,3,-2)$

$-2\cdot 1+4\cdot 3-2+D=0$

$-2+12-2+D=0$

$8+D=0$

$D=-8$

즉, 평면의 데카르트 방정식은 다음과 같습니다.

$\bm{\pi : \ -2x+4y+z-8=0}$

반면에, 기하학적 객체 사이의 수직성에 대해 더 많은 연습을 하고 싶다면 수직선 페이지를 방문하세요. 수직선에 대해 알아야 할 모든 것을 찾을 수 있습니다. 두 선이 수직인 경우, 하나의 수직선을 다른 선에 대해 계산하는 방법, 예, 해결된 연습 문제 등을 찾을 수 있습니다.

수직 평면의 속성

모든 수직 평면에는 다음과 같은 특성이 있습니다.

대칭 관계 : 평면이 다른 평면과 수직인 경우 이 평면도 첫 번째 평면과 수직입니다. 이 속성은 평행면에서도 유지됩니다.

$\pi_1 \bm{\perp} \pi_2 \ \longrightarrow \ \pi_2 \bm{\perp} \pi_1$

비반사 특성 : 분명히 어떤 평면도 그 자체에 수직일 수 없습니다.

$\pi_1 \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \pi_1$

정리: 3차원(3D) 공간에서 세 번째 평면에 수직인 평면 쌍은 반드시 평행해야 합니다. 즉, 한 평면이 다른 평면에 수직이고 이 평면이 세 번째 평면에도 수직인 경우 첫 번째 평면과 마지막 평면은 서로 평행합니다.

두 개의 수직면은 무엇입니까?

한 평면이 다른 평면과 수직인지 어떻게 알 수 있나요?

두 개의 수직 평면의 예

한 점에서 선에 수직인 평면을 계산합니다.

수직 평면의 속성

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