불확정성 무한 마이너스 무한(무한대-무한대)

이 기사에서는 무한 빼기 무한(무한대-무한대) 불확정성을 해결하는 방법을 설명합니다. 다양한 유형의 함수를 사용하여 이러한 불확정성의 예를 찾을 수 있으며, 추가로 불확정성 무한 – 무한의 단계별 문제를 해결하는 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

불확정성 무한 마이너스 무한 풀기

함수의 극한이 무한대 마이너스 무한대를 제공하는 경우 이는 불확정성(또는 불확정형)임을 의미합니다. 즉 , 불확정성 – 무한대를 부여하는 함수의 극한은 직접적인 계산을 통해서는 결정될 수 없고, 오히려 사전적인 과정을 거쳐야 한다.

따라서 무한 마이너스 무한 불확정성을 풀려면 먼저 함수 유형에 따라 달라지는 절차를 적용해야 합니다. 다항 함수인 경우 비교를 통해 계산할 수 있고, 유리 함수인 경우 분수를 다음으로 줄여야 합니다. 공통분모이며, 무리함수인 경우 공액을 곱해야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\Bigl(f(x)-g(x)\Bigr)=\infty-\infty$

다음으로, 각 유형의 함수에서 불확정성 무한 – 무한이 어떻게 해결되는지 예를 통해 살펴보겠습니다.

다항식 함수의 무한 마이너스 무한 불확정성

다항식에서 불확정성 무한대 빼기 무한대는 최고 차수 무한대와 같습니다. 즉, 최고 차수 항이 무한대의 양수 또는 음수 부호를 결정합니다.

예를 들어, 무한대에서 무한대를 뺀 불확정 형식을 제공하는 다음 다항식 함수의 극한을 살펴보세요.

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^2-3x\bigr)=(+\infty)^2-3\cdot (\infty)=+\infty-\infty=+\infty$

이 경우 x ² 항은 2차이고 3x 항은 1차이므로 단항식 x ² 가 더 높은 차수이기 때문에 우세합니다. 따라서 극한의 결과는 이 항에서 얻어지는 무한대입니다.

다음의 다른 예를 살펴보세요.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^5-4x^2-3x\bigr)=(+\infty)^5=+\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\bigl(-3x^2-5x\bigr)=-3\cdot (-\infty)^2=-3\cdot \infty=-\infty\\[5ex]\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\bigl(x^7-5x^4+x^3-2x-10\bigr)=(+\infty)^7=+\infty\end{array}$

간단히 말해서, 다항식 함수에서 무한대에 대한 제한을 만들 때 다른 모든 항을 무시 하고 단순히 최고차 항에 무한대를 대체해야 합니다 .

불확정성 무한 – 분수 포함 무한

대수 분수의 덧셈이나 뺄셈에서 불확정성 무한대 빼기 무한대가 발생 하면 먼저 분수의 덧셈이나 뺄셈을 한 다음 극한을 계산해야 합니다.

예제를 단계별로 풀어 분수가 있는 함수에서 불확정성 무한대 빼기 무한대를 계산하는 방법을 살펴보겠습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right)$

먼저 한도를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\left( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x}{3}\right) = \frac{(+\infty)^2}{(+\infty)-1} - \frac{+\infty}{3} = \bm{+\infty - \infty}$

그러나 우리는 불확정성 -0을 얻습니다.

먼저 분수의 뺄셈을 해야 합니다. 이를 위해 분수를 공통 분모로 줄입니다. 즉, 한 분수의 분자와 분모에 다른 분수의 분모를 곱합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{3}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2 \cdot 3}{(x-1)\cdot 3}- \frac{x\cdot (x-1)}{3\cdot (x-1)} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 }{3(x-1)}- \frac{x^2-x}{3(x-1)}\right)\end{array}$

이제 두 분수의 분모가 동일하므로 이를 하나의 분수로 결합할 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -(x^2-x)}{3(x-1)}$

분자와 분모를 사용하여 작업합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 -x^2+x}{3x-3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^2+x}{3x-3}$

마지막으로 한계를 다시 계산합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{2x^2+x}{3x-3}=\frac{+\infty}{+\infty}=\bm{+\infty}$

이 경우, 분자의 차수가 분모의 차수보다 크기 때문에 무한대 사이의 무한 불확정성은 +무한대를 제공합니다.

➤ 참고: 무한대 사이의 무한대는 무엇인가요?

불확정성 무한 – 뿌리가 있는 무한

불확정성 무한대 빼기 무한대가 근수 덧셈 또는 뺄셈에서 발생하는 경우 먼저 함수를 켤레 근수 표현식으로 곱하고 나눈 다음 극한을 풀어야 합니다.

단계별 예제를 사용하여 비합리 함수에서 불확정성 무한 – 무한을 해결하는 방법을 살펴보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)$

먼저 근호를 사용하여 함수의 극한을 해결해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)=+\infty-\sqrt{(+\infty)^2}=\bm{+\infty-\infty}$

그러나 우리는 불확정 형태 -0을 얻습니다. 따라서 무한대에서 무한대를 뺀 값이 얼마나 큰지 알려면 설명된 절차를 적용해야 합니다.

함수에 근호가 있으므로 전체 함수를 공액 무리수 표현식으로 곱하고 나눕니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)= \lim_{x \to +\infty}\frac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right)\cdot\left(x+\sqrt{x^2-5}\right)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

분자의 대수적 표현은 차이에 의한 합의 곱의 주목할만한 동일성에 해당하므로 표현을 단순화할 수 있습니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \cfrac{\left(x-\sqrt{x^2-5}\right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-5}\right)}{ x + \sqrt{x^2-5}}= \lim_{x \to +\infty} \cfrac{x^2- \left( \sqrt{x^2-5}\right)^2}{ x + \sqrt{x^2-5}}$

이제 극한이 제곱되었으므로 극한의 근을 단순화합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}\frac{x^2-(x^2-5)}{x+\sqrt{x^2-5}}$

우리는 분수의 분자에 대해 연산을 수행합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2- x^2+5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}$

마지막으로 한계 계산을 다시 실행합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{5}{x+\sqrt{x^2-5}}=\frac{5}{+\infty+\sqrt{(+\infty)^2}}=\frac{5}{+\infty}=\bm{0}$

따라서 극한의 결과는 0입니다. 왜냐하면 무한대로 나눈 모든 숫자는 0과 같기 때문입니다.

무한 마이너스 무한 불확정성 문제 해결

연습 1

x가 더하기 무한대에 접근할 때 다음 극한을 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(7x^2-2x^3)$

해결책 보기

이 극한에서 최고차 항은 3차이므로 이 항에서 얻은 무한대에 중점을 둡니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(+7x^2-2x^3)=+\infty^2-\infty^3=+\infty-\infty=\bm{-\infty}$

연습 2

x가 음의 무한대에 접근할 때 다음 다항식 함수의 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3-9x^2)$

해결책 보기

음의 무한대 세제곱은 음수로 유지되지만 제곱하면 양수가 됩니다. 나중에 그 부호는 앞에 있는 계수에 의해 수정되지만:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\\[3ex]=-5(-\infty)^3-9(-\infty)^2=\\[3ex]=-5\cdot (-\infty)-9\cdot \infty=\\[3ex]=+\infty-\infty\end{array}$

그런 다음, 무한대 마이너스 무한대 형태의 부정형은 차수가 가장 높은 항(-5x ³ )으로 정의되며, 여기에서 양의 무한대를 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to -\infty}(-5x^3+x^2)=\bm{+\infty}$

연습 3

다음 유리 함수의 무한대 극한을 결정합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)$

해결책 보기

먼저, 함수의 무한대를 대체하여 극한을 계산하려고 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4}\right)=\frac{(+\infty)^3+1}{+\infty-1}-\frac{+\infty}{4} = \bm{+\infty -\infty}$

그러나 우리는 불확정성 – 로 끝납니다. 따라서 분수를 공통 분모로 줄입니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^3+1}{x-1}-\frac{x}{4} \right)=\\[5ex]\displaystyle = \lim_{x\to +\infty}\left(\frac{(x^3+1)\cdot4}{(x-1)\cdot4}-\frac{x\cdot(x-1)}{4\cdot (x-1)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)\end{array}$

이제 두 분수의 분모가 동일하므로 이를 하나의 분수로 결합할 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(\frac{4x^3+4}{4x-4}-\frac{x^2-x}{4x-4}\right)=\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^3+4-(x^2-x)}{4x-4}$

분자에 괄호를 만듭니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}$

그리고 마지막으로 한계를 결정합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{4x^3+4-x^2+x}{4x-4}=\frac{4(+\infty)^3}{4(+\infty)}=\frac{+\infty}{+\infty} = \bm{+\infty}$

이 경우, 분자의 차수는 분모의 차수보다 크기 때문에 불확정 /0는 + 를 제공합니다.

연습 4

x가 0에 가까워질 때 다음 분수 함수의 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)$

해결책 보기

먼저 평소와 같이 한도를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\frac{-3\cdot0-2}{0^4}-\frac{5}{0^2}=\frac{-2}{0}-\frac{5}{0}=\bm{\infty-\infty}$

그러나 우리는 불확정 형태인 무엇을 얻습니까? 따라서 함수의 분수를 공통 분모로 줄여야 합니다.

이 경우 x ⁴ 는 x ² 의 배수이므로 두 번째 분수의 분자와 분모에 x ² 를 곱하면 두 분수의 분모가 동일하다는 것을 알 수 있습니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5}{x^2}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5\cdot x^2}{x^2\cdot x^2} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)\end{array}$

이제 두 분수를 뺄 수 있습니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 0}\left(\frac{-3x-2}{x^4}-\frac{5x^2}{x^4}\right)=\lim_{x\to 0}\frac{-3x-2-5x^2 }{x^4}$

우리는 한도를 다시 해결하려고 시도합니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \cfrac{-3x-2-5x^2 }{x^4} =\cfrac{-3\cdot 0-2-5\cdot 0^2}{0^4}=\frac{-2}{0}$

그러나 우리는 0으로 나눈 상수의 불확정성으로 끝납니다. 따라서 함수의 측면 한계를 계산하는 것이 필요합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{-}} \frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}}\frac{-3x-2-5x^2}{x^4}=\frac{-2}{+0}=-\infty$

결론적으로, 점 x=0에서 함수의 두 측면 극한은 -무한을 제공하므로 극한의 해는 -무한입니다.

$\displaystyle \lim_{x \to 0^-}f(x)=\lim_{x \to 0^+}f(x)=-\infty\ \longrightarrow \ \lim_{x \to 0}f(x)= \bm{-\infty}$

연습 5

근을 사용하여 다음 함수의 무한대 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)$

해결책 보기

극한을 풀려고 시도하면 불확정성 무한대 마이너스 무한대를 얻습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)=4(+\infty)^2-\sqrt{(+\infty)^4}=\bm{+\infty -\infty}$

따라서 함수에 근호가 있으므로 이를 공액 근호 표현으로 곱하고 나누어야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\left(4x^2-\sqrt{x^4+1} \right)=\lim_{x \to +\infty}\frac{\left(4x^2-\sqrt{x^4+1}\right)\cdot\left(4x^2+\sqrt{x^4+1}\right)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

분자에는 제곱의 차이와 동일한 차이에 의한 합의 곱이 있습니다. 아직:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(4x^2\right)^2-\left(\sqrt{x^4+1}\right)^2}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

근호를 제곱으로 단순화합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\bigl(4x^2\bigr)^2-(x^4+1)}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

우리는 분자에서 작동합니다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{16x^4-x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}$

그리고 마지막으로 한계를 찾았습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{15x^4-1}{4x^2+\sqrt{x^4+1}}=\frac{15(+\infty)^4}{4(+\infty)^2+\sqrt{(+\infty)^4}}=\frac{+\infty}{+\infty}= \bm{+\infty}$

이 경우 무한 불확정성을 무한대로 나눈 값은 분자의 차수가 분모의 차수보다 크기 때문에 더 무한합니다(제곱근은 차수를 2로 줄인다는 점을 기억하세요:

$\sqrt{x^4} = x^{4/2} = x^2$

연습 6

x가 다음 무리 함수의 무한대에 접근할 때 극한을 풉니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)$

해결책 보기

먼저 평소와 같이 한도를 계산해 보겠습니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)=2(+\infty)-\sqrt{4(+\infty)^2}=\bm{+\infty -\infty}$

그러나 그것은 결과적으로 무한대의 차이를 불확정하게 만듭니다. 따라서 함수에 근이 있으므로 표현식을 공액근수로 곱하고 나누어야 합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1-\sqrt{4x^2+1}\right)\cdot\left(2x-1+\sqrt{4x^2+1}\right)}{2x-1 +\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 분수 분자의 눈에 띄는 동등성을 그룹화합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(\sqrt{4x^2+1}\right)^2}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 제곱근을 푼다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{\left(2x-1\right)^2-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 차이의 제곱에 대한 주목할 만한 항등식을 해결합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-\left(4x^2+1\right)}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

우리는 분자에서 작동합니다:

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{4x^2+1-4x-4x^2-1}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1}}$

그리고 마지막으로 무한대의 극한 값을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \cfrac{-4x }{2x-1 +\sqrt{4x^2+1} } = \cfrac{-4(+\infty) }{2(+\infty)+\sqrt{4(+\infty)^2} } = \cfrac{-\infty}{+\infty} =$

분모에 x 제곱이 있더라도 루트 안에 있기 때문에 차수는 실제로 1입니다.

$\sqrt{4x^2} =\sqrt{4}\cdot \sqrt{x^2} = \sqrt{4}\cdot x^{2/2} =\sqrt{4} x^1=\sqrt{4}x .$

따라서, 불확정성 -무한대/+무의 결과는 분자의 차수가 분모의 차수와 동일하기 때문에 더 높은 차수인 x의 계수를 나눈 것입니다.

$\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\frac{-4x}{2x-1+\sqrt{4x^2+1} }=\frac{-\infty}{+\infty}=\frac{-4}{2+\sqrt{4}}=\frac{-4}{2+2}=\frac{-4}{4}=\bm{-1}$

분모에는 2개의 1차 항이 있으므로 주의하세요.

$\bigl(2x$

그리고

$\sqrt{4x^2}\bigr)$

, 불확정성 -무한대/+무대를 해결하려면 1차 항의 모든 계수를 취해야 합니다. 즉

$2$

~의

$2x$

그리고

$\sqrt{4}$

~의

$\sqrt{4x^2}.$

연습 7

x가 분수를 사용하여 다음 함수 중 1에 접근할 때 극한을 계산합니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)$

해결책 보기

극한을 만들려고 하면 무한대에서 무한대를 뺀 불확정 극한을 얻게 됩니다.

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3}\right)=\frac{1}{1-1}--\frac{3}{1-1^3}=\frac{1}{0}-\frac{3}{0}=\bm{\infty-\infty}$

따라서 분수를 공통 분모로 줄여야 합니다. 즉, 한 분수의 분자와 분모에 다른 분수의 분모를 곱해야 합니다.

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x \to 1}\left(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3} \right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\left( \frac{1\cdot(1-x^3)}{(1-x)\cdot(1-x^3)}-\frac{3\cdot(1-x)}{(1-x^3)\cdot(1-x)}\right)=\\[5ex]\displaystyle =\lim_{x \to 1}\left(\frac{1-x^3}{1-x-x^3+x^4}-\frac{3-3x}{1-x-x^3+x^4}\right)\end{array}$