로그 함수의 파생

여기서는 모든 밑수(공식)에서 로그 함수의 미분을 해결하는 방법을 찾을 수 있습니다. 또한 로그 함수의 도함수에 대한 단계별 연습을 통해 연습할 수 있습니다.

로그 함수를 나누는 공식은 로그가 자연 로그(밑 e를 사용)인지 아니면 다른 밑을 밑으로 하는지에 따라 달라집니다 . 따라서 먼저 각 경우에 대한 예를 들어 두 공식을 별도로 살펴본 다음 두 규칙을 요약해 보겠습니다.

자연 또는 자연 로그의 파생

자연 로그(또는 자연 로그)의 도함수는 로그 인수의 도함수를 인수의 함수로 나눈 몫입니다.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

논리적으로 로그 내부의 함수가 항등 함수인 경우 도함수의 분자에는 1이 남습니다.

f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}

3x 자연 로그의 도함수를 푸는 다음 예를 살펴보십시오.

f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}

자연로그는 밑이 e(오일러 수)인 로그라는 점을 기억하세요.

\ln(x)=\log_e(x)

다음을 기반으로 한 로그의 파생

밑수에 대한 로그의 도함수는 1을 원래 로그 밑수의 자연 로그 x 곱으로 나눈 값과 같습니다.

f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}

따라서 체인 규칙을 적용하면 로그 미분 규칙은 다음과 같습니다.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

예를 들어, x 제곱의 밑이 2인 로그의 도함수는 다음과 같습니다.

f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}

로그 함수의 미분 공식

로그 도함수의 정의와 두 가지 가능한 변형을 고려하여, 기억하기 쉽도록 두 공식을 요약해 보겠습니다.

로그 함수의 미분

로그 함수의 파생 문제 해결

연습 1

다음 로그 함수를 도출합니다.

f(x)=\log(3x^2)

이 경우 십진수 밑에서 로그의 도함수를 풀어야 하므로 다음 공식을 적용해야 합니다.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

따라서 밑이 10인 로그의 도함수는 다음과 같습니다.

f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}

로그에 밑이 없으면 밑이 10이라는 뜻입니다.

연습 2

다음과 같은 자연(또는 자연) 로그를 도출합니다.

f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5

이 문제의 함수는 자연 로그이므로 로그 함수를 유도하려면 다음 규칙을 사용해야 합니다.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

따라서 자연 로그의 미분은 다음과 같습니다.

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}

연습 3

다음 로그를 도출합니다.

f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)

이 연습에서는 밑이 7인 로그를 도출해야 하므로 다음 공식을 사용합니다.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

그리고 로그의 미분은 다음과 같습니다.

f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}

연습 4

분수를 사용하여 다음 로그 함수의 미분을 구합니다.

\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)

로그 도함수를 풀기 위해 먼저 로그의 속성을 적용하여 함수를 단순화할 수 있습니다.

f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)

이제 로그 미분 공식을 두 번 사용해야 하지만 두 미분 모두 계산하기가 더 쉽습니다.

f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}

요약하면 함수의 미분은 다음과 같습니다.

\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}

연습 5

하나의 근을 사용하여 다음 로그 함수의 미분을 계산합니다.

f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)

먼저 로그의 속성을 사용하여 함수를 단순화하겠습니다.

f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)

그리고 함수에서 근호를 제거한 후에는 자연 로그 또는 자연 로그의 도함수에 대한 규칙을 사용합니다.

f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}

따라서 복합 로그 함수의 미분은 다음과 같습니다.

f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}

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