모든 선형 독립 및 종속 벡터

이 페이지에서는 선형독립 벡터와 선형종속 벡터가 무엇인지 설명합니다. 또한 벡터 집합이 선형 종속인지 독립인지 확인하는 방법에 대한 예도 볼 수 있습니다. 또한 선형 독립성과 의존성에 대한 연습과 문제 해결을 단계별로 찾아볼 수 있습니다.

선형 독립 벡터란 무엇입니까?

자유 벡터 집합 중 어떤 것도 다른 벡터의 선형 결합으로 쓸 수 없으면 선형 독립 입니다.

즉, 벡터 세트가 주어지면

$\vv{\text{v}}_1, \vv{\text{v}}_2,\ldots \vv{\text{v}}_n,$

다음 방정식의 유일한 해인 경우 이는 선형 독립입니다.

$a_1\vv{\text{v}}_1+a_2\vv{\text{v}}_2+\dots + a_n\vv{\text{v}}_n=0$

이것들은 모두 계수입니다.

$a_i$

0과 같음:

$a_1=a_2=\dots = a_n=0$

기하학적으로 두 벡터는 방향이 동일하지 않은 경우, 즉 평행하지 않은 경우 선형 독립입니다.

간결하게 하기 위해 때때로 LI 벡터라고 직접적으로 말합니다. 또는 벡터가 선형 독립성을 갖습니다.

선형 종속 벡터란 무엇입니까?

분명히 선형 종속 벡터는 선형 독립 벡터의 반대를 의미합니다. 따라서 그 정의는 다음과 같습니다.

평면의 자유 벡터 집합은 시스템을 구성하는 다른 벡터의 선형 조합으로 표현될 수 있는 경우 선형 종속 입니다.

즉, 벡터 세트가 주어지면

$\vv{\text{v}}_1, \vv{\text{v}}_2,\ldots \vv{\text{v}}_n,$

다음 방정식에 대한 해가 존재하는 경우 이는 선형 종속적입니다.

$a_1\vv{\text{v}}_1+a_2\vv{\text{v}}_2+\dots + a_n\vv{\text{v}}_n=0$

특정 계수를 갖는

$a_i$

0과 다릅니다:

$a_i\neq 0$

반대의 경우도 마찬가지입니다. 벡터가 다른 벡터의 선형 결합인 경우 집합의 모든 벡터는 선형 종속입니다.

또한 두 벡터가 평행하다면 이는 선형 종속성을 의미합니다.

때로는 줄여서 LD 벡터라고 부르기도 합니다. 또는 벡터에 선형 종속성이 있는 경우도 있습니다.

벡터가 선형 종속인지 독립인지 확인하는 방법의 예

그런 다음 선형 종속 벡터와 독립 벡터의 일반적인 예를 살펴보겠습니다.

다음 3개의 3차원 벡터가 선형 종속성 또는 독립성을 갖는지 확인합니다.

$\vv{\text{u}} = (1,5,2)$

$\vv{\text{v}} = (-2,3,-1)$

$\vv{\text{w}} = (4,2,1)$

먼저 선형 결합 조건을 명시해야 합니다.

$a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0$

이제 각 벡터를 해당 좌표로 바꿉니다. 0과 마찬가지로 0 벡터에 해당합니다.

$a_1(1,5,2)+a_2(-2,3,-1)+ a_3(4,2,1)=(0,0,0)$

계수는 벡터를 곱하므로 다음 표현식은 동일합니다.

$(a_1,5a_1,2a_1)+(-2a_2,3a_2,-a_2) + (4a_3,2a_3,a_3)=(0,0,0)$

벡터를 추가합니다.

$(a_1-2a_2+4a_3 \ , \ 5a_1+3a_2+2a_3 \ , \ 2a_1-a_2+a_3)=(0,0,0)$

자세히 살펴보면 왼쪽 벡터의 각 좌표가 오른쪽 벡터의 각 좌표와 같아야 하므로 이전 표현식은 3개의 방정식에 해당합니다. 따라서 우리는 3개의 미지수를 갖는 3개의 방정식으로 구성된 동종 시스템을 갖게 됩니다.

$\left. \begin{array}{l} a_1-2a_2+4a_3 = 0 \\[2ex] 5a_1+3a_2+2a_3 =0\\[2ex] 2a_1-a_2+a_3 = 0 \end{array} \right\}$

따라서 우리가 해야 할 유일한 일은 미지수가 다음과 같은 방정식 시스템을 푸는 것입니다.

$a_1, a_2$

그리고

$a_3.$

이를 위해서는 어떤 방법(대체 방법, 가우스 방법, 크래머 규칙 등)을 사용할 수 있습니다. 그러나 벡터가 LI인지 LD인지 알기 위해서는 자명한 해(모든 계수가 0과 같음) 이외의 해가 존재하는지 확인하는 것만으로도 충분합니다. 그래서:

벡터의 구성 요소로 구성된 행렬의 행렬식이 0과 다른 경우 이는 방정식 시스템에 하나의 해만 있음을 의미합니다(
$a_1=a_2=a_3=\dots=0$

) 따라서 벡터는 선형독립 입니다.
반면, 벡터의 구성 요소로 구성된 행렬의 행렬식이 0과 같다면 이는 연립방정식에 두 개 이상의 해가 있으므로 벡터가 선형 종속적 임을 의미합니다.

따라서 계산해야 할 유일한 것은 벡터의 좌표가 있는 행렬식입니다(3×3 행렬식이므로 Sarrus의 규칙으로 풀 수 있습니다). 이 행렬식은 이전 방정식 시스템의 계수에 해당합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1&-2&4\\[1.1ex] 5&3&2 \\[1.1ex] 2&-1&1 \end{vmatrix} = -37 \bm{\neq 0}$

이 경우 행렬식은 0이 아니므로 벡터는 선형독립 입니다.

따라서 연립방정식에 대해 가능한 유일한 해는 모든 미지수가 0인 자명해입니다.

$a_1=a_2=a_3=0$

선형 종속 벡터와 독립 벡터의 속성

벡터의 선형 종속성 또는 독립성은 다음과 같은 특징을 갖습니다.

두 비례 벡터는 평행하므로 방향이 동일하므로 선형 종속입니다.

마찬가지로 두 벡터의 방향이 동일하지 않거나 비례하지 않으면 선형 독립입니다.

동일한 평면에 있는 세 개의 동일 평면 벡터는 선형 독립입니다.

널 벡터
$(\vv{\text{v}}=(0,0,0))$

모든 벡터에 선형 종속적입니다.

선형 독립 벡터 집합은 벡터 공간을 생성하고 벡터 기저를 형성합니다. 세 벡터가 수직이면 직교 밑면입니다. 그리고 해당 모듈도 1이면 이는 직교 기저에 해당합니다.

선형 의존성 및 독립성 운동 해결

아래에는 연습할 선형 종속 및 독립 벡터에 대한 몇 가지 해결 연습이 있습니다.

연습 1

다음 벡터가 선형 종속인지 독립인지 확인합니다.

$\vv{\text{u}} = (1,-2,1)$

$\vv{\text{v}} = (2,1,3)$

$\vv{\text{w}} = (5,-1,1)$

솔루션 보기

먼저 선형 결합 조건을 제시합니다.

$a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0$

$a_1(1,-2,1)+a_2(2,1,3)+ a_3(5,-1,1)=(0,0,0)$

$(a_1,-2a_1,a_1)+(2a_2,a_2,3a_2) + (5a_3,-a_3,a_3)=(0,0,0)$

$(a_1+2a_2+5a_3 \ , \ -2a_1+a_2-a_3 \ , \ a_1+3a_2+a_3)=(0,0,0)$

이전 방정식은 다음 선형 방정식 시스템에 해당합니다.

$\left. \begin{array}{l} a_1+2a_2+5a_3 = 0 \\[2ex] -2a_1+a_2-a_3 =0\\[2ex] a_1+3a_2+a_3 = 0 \end{array} \right\}$

방정식 시스템을 명시한 후에는 해당 항을 사용하여 행렬의 행렬식을 풉니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1&2&5\\[1.1ex] -2&1&-1 \\[1.1ex] 1&3&1 \end{vmatrix} = -29 \bm{\neq 0}$

이 경우 행렬식은 0이 아니므로 세 벡터는 서로 선형독립 입니다.

연습 2

다음 벡터를 선형 종속 또는 독립으로 분류합니다.

$\vv{\text{u}} = (1,4,3)$

$\vv{\text{v}} = (-2,0,2)$

$\vv{\text{w}} = (3,-1,-4)$

솔루션 보기

먼저 선형결합 방정식을 제시합니다.

$a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}=0$

$a_1(1,4,3)+a_2(-2,0,2)+ a_3(3,-1,-4)=(0,0,0)$

$(a_1,4a_1,3a_1)+(-2a_2,0,2a_2) + (3a_3,-a_3,-4a_3)=(0,0,0)$

$(a_1-2a_2+3a_3 \ , \ 4a_1-a_3 \ , \ 3a_1+2a_2-4a_3)=(0,0,0)$

이전 평등으로부터 우리는 다음과 같은 동종 방정식 시스템을 얻습니다.

$\left. \begin{array}{l} a_1-2a_2+3a_3= 0 \\[2ex] 4a_1-a_3 =0\\[2ex] 3a_1+2a_2-4a_3 = 0 \end{array} \right\}$

연립방정식을 기술한 후에는 벡터의 좌표를 사용하여 행렬식을 구합니다.

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1&-2&3\\[1.1ex] 4&0&-1 \\[1.1ex] 3&2&-4 \end{vmatrix} \bm{= 0}$

이 경우 행렬식은 0과 동일하므로 세 벡터는 서로 선형적으로 종속됩니다 .

연습 3

다음 세 벡터에 대해 어떤 벡터 쌍이 선형 종속이고 어떤 쌍이 선형 독립인지 표시하십시오.

$\vv{\text{u}} = (1,2,-2) \qquad \vv{\text{v}} = (2,4,-3) \qquad \vv{\text{w}} = (-4,-8,6)$

솔루션 보기

벡터 쌍이 선형 종속인지 독립인지 확인하는 가장 간단한 방법은 두 벡터가 비례하는지 확인하는 것입니다.

먼저 벡터를 확인합니다.

$\vv{\text{u}}$

벡터와 함께

$\vv{\text{v}} :$

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{2}{4} \neq \cfrac{-2}{-3} \ \longrightarrow \ \text{LI}$

둘째, 벡터를 확인합니다.

$\vv{\text{u}}$

벡터와 함께

$\vv{\text{w}} :$

$\cfrac{1}{-4} = \cfrac{2}{-8} \neq \cfrac{-2}{6} \ \longrightarrow \ \text{LI}$

마지막으로 벡터를 테스트합니다.

$\vv{\text{v}}$

벡터와 함께

$\vv{\text{w}} :$

$\cfrac{2}{-4} = \cfrac{4}{-8} = \cfrac{-3}{6} = -\cfrac{1}{2} \ \longrightarrow \ \text{Proporcionales}\ \longrightarrow \ \text{LD}$

따라서 서로 선형 의존하는 유일한 벡터 쌍은 다음과 같습니다.

$\vv{\text{v}}$

그리고

$\vv{\text{w}}.$

또한 이들의 관계는 다음과 같다.

$\vv{\text{v}}= -\cfrac{1}{2} \vv{\text{w}}$

또는 이에 상응하는 것:

$\vv{\text{w}}= -2\vv{\text{v}}$

반면, 다른 벡터 쌍은 선형독립입니다.

연습 4

다음 4개 벡터의 선형 의존성 또는 독립성을 연구합니다.

$\vv{\text{u}} = (0,1,2)$

$\vv{\text{v}} = (-1,-2,0)$

$\vv{\text{w}} = (4,1,-1)$

$\vv{\text{x}} = (-2,-3,2)$

솔루션 보기

먼저 선형 결합 조건을 제시합니다.

$a_1\vv{\text{u}}+a_2\vv{\text{v}} + a_3\vv{\text{w}}+a_4\vv{\text{x}}=0$

$a_1(0,1,2)+a_2(-1,-2,0)+ a_3(4,1,-1)+a_4(-2,-3,2)=(0,0,0)$

$(0,a_1,2a_1)+(-a_2,-2a_2,0) +(4a_3,a_3,-a_3)+(-2a_4,-3a_4,2a_4)=(0,0,0)$

$(-a_2+4a_3-2a_4\ , \ a_1-2a_2+a_3-3a_4 \ , \ 2a_1-a_3+2a_4)=(0,0,0)$

이 경우 우리는 4개의 미지수를 갖는 3개의 방정식으로 구성된 시스템을 갖게 됩니다.

$\left. \begin{array}{l} -a_2+4a_3-2a_4 = 0 \\[2ex] a_1-2a_2+a_3-3a_4 =0\\[2ex] 2a_1-a_3+2a_4 = 0 \end{array} \right\}$

정사각 행렬만 결정할 수 있으므로 전체 시스템 행렬의 행렬식을 풀 수 없습니다. 따라서 우리는 3×3 행렬식의 가능한 모든 조합을 계산하고 그 중 하나가 0과 같은지 확인해야 합니다. 이 경우 벡터는 선형 종속이 됩니다. 반면에 모든 행렬식이 0과 다르면 4개의 벡터는 다음과 같습니다. 선형독립이 되어야 합니다.

계수의 행렬식을 계산합니다.

$a_1, a_2$

그리고

$a_3:$