직선의 연속방정식

이 페이지에서는 선의 연속방정식에 대한 모든 것을 찾을 수 있습니다. 선의 의미, 점과 벡터로부터 선이 계산되는 방법, 단 두 개의 점으로 결정되는 방법. 또한, 여러 예시를 볼 수 있으며 단계별로 연습 문제와 해결 방법을 연습해 볼 수도 있습니다.

직선의 연속 방정식은 무엇입니까?

선의 수학적 정의는 곡선이나 각도 없이 동일한 방향으로 표시되는 연속적인 점 집합이라는 점을 기억하세요.

따라서 연속선 방정식은 모든 선을 수학적으로 표현하는 방법입니다. 그리고 이를 위해서는 선에 속하는 점과 선의 방향 벡터만 알면 충분하다.

선의 연속방정식은 어떻게 계산되나요?

응

$\vv{\text{v}}$

는 선의 방향 벡터이고

$P$

오른쪽에 속하는 점:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

직선의 연속 방정식 의 공식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

금:

$x$

그리고

$y$

는 선 위의 모든 점의 데카르트 좌표입니다.
$P_1$

그리고

$P_2$

선의 일부인 알려진 점의 좌표입니다.
$\text{v}_1$

그리고

$\text{v}_2$

선의 방향 벡터의 구성 요소입니다.

이 공식은 평면에 있는 선의 연속 방정식, 즉 2개 좌표(R2)의 점과 벡터로 작업할 때 사용됩니다. 그러나 공간(R3)에서 계산을 수행하는 경우 선의 방정식에 추가 구성요소를 추가해야 합니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

반면, 연속 방정식 외에도 선을 분석적으로 표현하는 다른 방법이 있다는 점을 명심하십시오: 벡터 방정식, 매개변수 방정식, 암시적(또는 일반) 방정식, 명시적 방정식 및 점-기울기 방정식 앨린. 당사 홈페이지에서 어떤 내용인지 확인하실 수 있습니다.

실제로, 선의 연속 방정식은 매개변수 방정식으로부터 얻을 수 있습니다. 라인의 매개변수 방정식에 대한 공식을 살펴보십시오.

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

설정을 지우면

$t$

각 매개변수 방정식에서 다음을 얻습니다.

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

두 개의 결과 방정식을 동일시함으로써 우리는 선의 연속 방정식을 얻습니다.

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

직선의 연속 방정식을 찾는 방법의 예

예를 사용하여 선의 연속 방정식이 어떻게 결정되는지 살펴보겠습니다.

점을 지나는 직선의 연속방정식을 써라.
$P$

그리고

$\vv{\text{v}}$

안내 벡터로:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

직선의 연속 방정식을 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

두 점에서 직선의 연속 방정식을 찾는 방법

연속 방정식의 일반적인 문제는 선에 속하는 2개의 점을 제공하고 그로부터 연속 방정식을 계산해야 한다는 것입니다. 예제를 통해 어떻게 해결되는지 살펴보겠습니다.

다음 두 점을 지나는 직선의 연속 방정식을 구합니다.

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

위 섹션에서 살펴본 것처럼 선의 연속 방정식을 계산하려면 선의 방향 벡터와 그 위의 점을 알아야 합니다. 오른쪽에 이미 점이 있지만 방향 벡터가 없습니다. 따라서 먼저 선의 방향 벡터를 계산한 다음 연속 방정식을 계산해야 합니다 .

선의 방향 벡터를 결정하려면 표현식에 제공된 두 점으로 정의된 벡터를 계산하면 됩니다.

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

그리고 선의 방향 벡터를 이미 알고 있으면 선의 연속 방정식을 찾으려면 다음 공식을 적용하면 됩니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

이 경우 우리는 선의 연속 방정식을 정의하기 위해 점 A를 사용했지만 명령문에서 우리에게 제공하는 다른 점과 함께 쓰는 것도 옳습니다.

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

직선의 연속방정식 문제를 해결했습니다.

연습 1

방향 벡터가 다음인 직선의 연속 방정식을 구합니다.

$\vv{\text{v}}$

그리고 그 지점을 지나

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

해결책 보기

직선의 연속 방정식을 찾으려면 해당 공식을 적용하면 됩니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

연습 2

다음 선에서 방향 벡터와 점을 결정합니다.

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

해결책 보기

명령문의 선은 연속 방정식의 형태로 표현되며 그 공식은 다음과 같습니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

따라서 선의 방향 벡터 구성 요소는 분수의 분모에 해당합니다.

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

그리고 선 위의 한 점의 데카르트 좌표는 부호가 변경된 분자의 수입니다.

$P(1,-4)$

연습 3

다음 두 점을 지나는 직선의 연속 방정식을 구합니다.

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

해결책 보기

직선의 연속 방정식을 계산하려면 방향 벡터와 점 중 하나를 알아야 합니다. 이 경우 선 위에 이미 점이 있지만 방향 벡터가 없습니다. 따라서 먼저 선의 방향 벡터를 계산한 다음 계속되는 방정식을 계산해야 합니다.

선의 방향 벡터를 찾으려면 표현식에 제공된 두 점으로 정의된 벡터를 계산하면 됩니다.

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

그리고 선의 방향 벡터를 이미 알고 있으면 연속 방정식을 찾기 위해 다음 공식을 적용하기만 하면 됩니다.

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

이 경우 우리는 연속 방정식을 정의하기 위해 점 A를 선택했지만, 진술에서 우리에게 제공하는 다른 점과 함께 이를 작성하는 것도 유효합니다.

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

연습 4

다음 사항을 고려하면:

$P(0,3)$

다음 연속 방정식으로 정의된 직선에 속하는지 여부를 확인합니다.

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

해결책 보기

점이 선에 속하는지 확인하려면 선의 방정식에 점의 좌표를 대입해야 합니다. 점이 방정식을 만족하면 실제로 선에 속한다는 것을 의미하고, 방정식이 만족되지 않으면 점이 선의 일부가 아니라는 것을 의미합니다.

따라서 점의 좌표를 주어진 선의 방정식으로 대체합니다.

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$

그리고 우리는 다음을 운영합니다:

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{0}{-4}$

$1 \neq 0$

1은 0과 같지 않으므로 점은 직선의 방정식을 만족하지 않으므로 직선에 속하지 않습니다 .

연습 5

매개변수 방정식에서 선의 연속 방정식을 찾습니다.

$\displaystyle \begin{cases} x=-2+4t\\[1.7ex] y=-3t \end{cases}$

해결책 보기

매개변수 방정식에서 직선의 연속 방정식으로 전달하려면 매개변수를 분리해야 합니다.

$t$

각 매개변수 방정식:

$t =\cfrac{x+2}{4}$

$t =\cfrac{y}{-3}$

그런 다음 두 개의 결과 방정식을 동일화하여 선의 연속 방정식을 얻습니다.

$t= t$

$\cfrac{x+2}{4}=\cfrac{y}{-3}$

직선의 연속 방정식은 무엇입니까?

선의 연속방정식은 어떻게 계산되나요?

직선의 연속 방정식을 찾는 방법의 예

두 점에서 직선의 연속 방정식을 찾는 방법

직선의 연속방정식 문제를 해결했습니다.

연습 1

연습 2

연습 3

연습 4

연습 5

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