集合論は、数理論理学の 4 つの要素の 1 つです。この理論は、要素の性質と全体を構成するオブジェクト間のつながりを研究することにより、要素のグループ化を分析します。
この理論では、セットについて話すとき、同様の特性を持つ構造の抽象的なグループを指します。この理論では、全体を構成するオブジェクトに対して、交差、補完、差分、結合などの操作が実行されます。
より簡単に言うと、集合論は集合に基づく数学の一分野です。したがって、各要素のすべてのプロパティと、それらの間で発生する接続が評価されます。
前にも説明したように、セットはオブジェクトのグループにすぎません。つまり、記号、単語、数字、幾何学的図形、文字などが考えられます。
セットにはどんな種類があるの？
セットに含まれるオブジェクトの数に応じて、オブジェクトはさまざまな方法で分類されます。これらは：
- 有限集合: 共通の数の要素を持つすべての集合です。たとえば、すべての曜日、すべての母音などです。
- 無限セット– 無限の数のオブジェクトが含まれます。たとえば、実数です。
- ユニバーサル セット: 特定のケースで考慮されるすべてのオブジェクトをまとめます。たとえば、サイコロの数値セットを使用する場合、ユニバーサル セットは U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} です。
- 空の集合: 要素を持たない集合です。たとえば、27 日ある 1 年のすべての月です。
セットを定義するにはどのような方法がありますか?
set を定義するには、まずグループの要素の共通の側面を確立します。たとえば、最初のセットには正の整数 (20 未満の偶数) が含まれています。これは次のようになります。
A= {2、4、6、8、10、12、14、16、18}。
ここから、2 つの方法を使用してセットを定義できます。そのうちの 1 つ目は、番号付けまたは拡張方法として知られています。そして2つ目は記述法と呼ばれるものです。 1 つ目では、セットの要素が具体的にリストされ、2 つ目では、要素が満たさなければならないプロパティに基づいています。
最初のシステムは、少数の要素を含むセットを記述するのに非常に役立ちます。いくつかの例を次に示します。
共通のサイコロ M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} (有限) を振ります。
アルファベットの母音 G= {a, e, i, o, u} (有限)。
一方、2 番目の方法は、多数の要素を含むセット、または無限のセットを定義する場合により実用的です。次に、いくつかの例を示します。
32 未満のすべての自然数 S = {x ∈ ℕ | x < 32} (終了)。
すべての自然数 N = {x ∈ ℕ} (無限大)。
数値の集合とは何ですか?
基本的に、数値が分類される分類は、数値セットとして知られています。これはそれぞれの特徴に関連しています。つまり、たとえば数値に小数点以下の桁がある場合、または負の符号がある場合です。
数値セットは、さまざまな数学的演算を実行するために必要なそれぞれの数値です。これは、日常生活だけでなく、科学や工学などのより複雑なシナリオにも当てはまります。
これらのセットは人間の精神が生み出したものです。したがって、それらは抽象的に構成されています。言い換えれば、デジタルセットは物質的には存在しません。次に、数値セットはいくつかのタイプの数値に分割されます。
- 自然数: これらは私たちが数えるために使用するものです。それらは無限に拡張され、単位の小さな部分を占めます。正式には、自然数の集合は文字 N を使用して次のように表現されます: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- 整数: これらの数値には自然数が含まれます。また、分数を含むすべての数値の前にマイナス記号が付いています。同様にゼロも加算されます。それらは次のように表すことができます: ℤ = {…, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}。このセットでは、それぞれの数値に反対の符号が付いた同等の値が含まれます。つまり、8 の反対は – 8 です。
- 有理数: 有理数は、2 つの整数とすべての整数の商として表される数をカバーします。これは、 10 進数を問題なく使用できることを意味します。このセットは次のように表すことができます: ℚ = ℤ/ℤ。
- 無理数: これらの数は 2 つの整数の商として表現されません。さらに、それらは無限に延びる場合でも、連続する周期セクションでは指定されません。無理数と有理数は異なる集合の一部であることを明確にする必要があります。したがって、それらには共通の特徴がありません。無理数の例は次のとおりです: √123。 11.0905365064。
- 実数: これらの数には、有理数と無理数が含まれます。これは、このグループにはマイナス無限大から無限大までの数値が含まれることを意味します。
- 虚数: これらの数値は、虚数単位に任意の実数を乗算した結果として得られます。虚数単位は – 1 の平方根に変換されます。これらの数値は実数とは関係がありません。それらは次のように表されます: p= r * s。この場合: p は虚数、r は実数、s は虚数単位です。
- 複素数– 複素数には虚数部と実数部があります。その構造は次のように表されます: v + ri。この場合、v は実数、r は虚数部、i は虚数単位です。
集合の和集合とは何ですか?
集合の結合は、U のすべての内部集合の集合に対して実行される二項演算にほかならないと考えることができます。二項演算によって、特定の演算子と 2 つの引数に依存するものを理解できます。計算。
この意味で、U の一部を構成するセット A と B の各ペアは、U の別のセット(AUB)に関連付けられます。したがって、A と B が 2 つの異なるセットである場合、セットの和集合は次のように表されます。ルイス、カルロス}、B={カルラ、ルイーザ、パオラ}; AUB={ルイス、カルロス、カルラ、ルイーザ、パオラ}。
集合の交点は何ですか?
セット交差は、元のセットに対して繰り返されるオブジェクトまたは頻繁に使用されるオブジェクトを含む別のセットに派生する操作です。空のセットの交差が発生した場合、それは素であると定義されます。この場合、S ∩ D = Ø と表されます。
この演算の記号∩は交差に対応します。より深く理解するために、次の例を見てみましょう。
M= {緑、黒、白、紫}。
J = {黒、緑、ピンク、青}。
この場合: M ∩ J = {緑、黒} これらは 2 つの初期セットで繰り返されるオブジェクトであるためです。
全体的な違いは何ですか?
集合差は集合論の一部である 3 番目の演算です。これは、B に含まれていない A のオブジェクトから新しいセットを取得することを可能にする操作として定義されます。例:
A = {4、6、8、10、12、14}。
B = {2、4、6、8}。
したがって、セットの差は、セット A の一部であるがセット B には含まれない要素から取得されます。その結果、{10, 12, 14} が得られます。
セットの補完物は何ですか?
セットの補数は、セットの一部ではない U のすべてのオブジェクトとして定義されます。言い換えれば、元の集合を構成しない要素を含む集合です。この概念をよりよく理解するには、使用されるオブジェクト、または逆にユニバーサル セットのタイプを知ることが不可欠です。
言い換えれば、たとえば素数について話している場合、相補集合は非素数の相補集合です。同時に、素数のセットは非素数の補数です。
セット間の対称的な違いは何ですか?
セットの対称差分とは、オブジェクトが初期セットの一部であり、同時に他の 2 つのセットとは何の関係もないセットです。この操作を集合論から例示すると、次のようになります。
{1, 2, 3} と {2, 3, 4, 6, 9, 8} = 対称的な差は {1, 4, 6, 9, 8} になります。
ベン図とは何ですか?
ベン図を構成するグラフはすべて連続した閉線で表現されます。つまり、楕円形、三角形、円形などです。一般に、ユニバーサルセットは長方形で表現されます。残りのセットは円または楕円で幾何学的に表現されます。
この図には数学的な証明が含まれていないことに留意することが重要です。ただし、特定のセットと別のセットの間の関係を直感的に理解できると便利です。
集合論はどこに適用されますか?
集合論の応用分野は数多くあります。これは主に幾何学的論理基礎の定式化に使用されます。ただし、トポロジなどの他のアプリケーションもあります。一般に、この理論は科学、数学、物理学、生物学、化学、さらには工学にも関連します。
数学的論理をよりよく理解するには、この要素をよく知ることが不可欠であり、集合論は最も重要な要素の 1 つです。さらに、以前によく説明したように、それは数学にのみ応用できるわけではありません。
日常言語で集合論についてどのように話すのでしょうか?
集合論は数学の基本的な部分です。しかし、これは運用よりも日常的な領域にも関係します。言い換えれば、それらは必ずしも数値セットであるとは限りません。伝統的な言語では、セットを参照することはもう少し複雑です。
その理由は、たとえば、最も重要な画家のグループを構成したい場合、認識が異なるためです。したがって、合意形成は事実上不可能です。つまり、そのグループの資質に基づいて誰がそのグループに属しているか、誰がそのグループに属していないかを判断するのはそれほど簡単ではありません。
これらの特定のセットの中には、空のセットとして定義されているか、要素を持たないセットもあります。さらに、単一の要素または単位のセットを扱うこともあります。
集合論の歴史とは何ですか?
集合論はドイツのゲオルグ・カントールの研究によって生まれました。この人物は有名な数学者でした。実際、今日に至るまで彼はこの理論の父として知られています。研究者らの最も関連性の高い研究の中には、数値集合と無限集合があります。
カントールが集合論に関連した最初の研究を行ったのは 1874 年でした。さらに、彼の研究が当時の重要な数学者であるリチャード・デデキントの研究と依然として関連していたことに言及することが重要です。後者でさえ、自然数の研究において基本的な役割を果たしました。
集合論はどのくらい重要ですか?
この理論の研究は、確率、それに関係するすべての数学、および統計の分析に不可欠です。この理論の一部である各操作は、特定の結果を得るために実験を実行するために使用されます。
答えは常に、実験が行われる状況と関係があります。このため、この種の研究ではセットが基本的な役割を果たします。