関数を使用した演算: 加算、減算、積、除算、合成

9月 17, 2023

この記事では関数でどのような操作ができるのかを解説します。関数を使った操作の解説と演習問題をご覧いただけます。最後に、関数を使用した操作のプロパティを確認します。

関数を使った操作とは何ですか?

関数では、加算、減算、積、除算、合成の 5 種類の演算を実行できます。つまり、2 つの関数を加算、減算、乗算、除算、合成することができます。

次に、それぞれの操作が機能でどのように行われるのか、それぞれの特徴を見ていきます。

関数の和

2 つの関数の合計 (または加算)の値は、各関数の値の合計に等しくなります。言い換えれば、合計関数のイメージを計算するには、演算に関係する関数のイメージを単純に加算するだけです。

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

さらに、2 つの関数の和の定義域は、合計された各関数の定義域の交差になります。

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

例を使用して 2 つの関数がどのように追加されるかを見てみましょう。

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=\log(x-1)$

まず、次の 2 つの関数を追加します。

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+1+\log(x-1)$

そして今、sum関数の定義域を見つけます。これを行うために、各関数の定義域を個別に計算します。

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

➤参照:関数の定義域を計算する方法

この場合、操作の結果として得られる関数の定義域は次のようになります。

$\text{Dom}(f+g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(1,+\infty)$

関数を使用した各操作には、結果を完全に定義するためのドメインを伴う必要があります。

関数の引き算

2 つの関数の減算 (または差)のイメージは、演算に参加する各関数のイメージの減算です。

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

加算関数と同様に、2 つの関数の減算領域は、各関数の領域の共通部分に相当します。

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

したがって、独立変数 x の特定の値で関数が定義されていない場合、減算の結果として得られる関数も定義されません。

例を通して 2 つの関数がどのように減算されるかを見てみましょう。

$f(x)=\sqrt{x}\qquad g(x)=\cfrac{3}{x-4}$

まず 2 つの関数を減算します。

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-\cfrac{3}{x-4}$

次に、減算関数の定義域を決定します。

$\text{Dom}(f)=[0,+\infty)\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{4\}$

$\text{Dom}(f-g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=[0,4)\cup (4,+\infty)$

主力製品

2 つの関数の積または (乗算)を計算するには、各関数の式を単純に乗算する必要があります。

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)$

一方、積関数の定義域は、各乗算関数の定義域の共通部分の集合です。

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)$

たとえば、次の 2 つの関数があるとします。

$f(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\qquad g(x)=\cfrac{2}{3x+6}$

まず、次の 2 つの関数を使用して製品の操作を実行します。

$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x)=\sqrt[3]{x^2-1}\cdot\cfrac{2}{3x+6}=\cfrac{2\sqrt[3]{x^2-1}}{3x+6}$

そして最後に、操作の結果として得られる関数の定義域を見つけます。

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}-\{-2\}$

$\text{Dom}(f\cdot g)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)=(-\infty,-2)\cup (-2,+\infty)$

機能の分散

2 つの関数の除算 (または商)の数値結果は、次の方程式に対応します。

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

ただし、2 つの関数の除算の定義域は、各関数の定義域の交点の集合から、除数として機能する関数をキャンセルするすべての x を引いたものになります。そうしないと、不確定性が生じるからです。

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}$

例として、次の関数を分割します。

$f(x)=5^x \qquad g(x)=x-3$

関数の分布は次のようになります。

$\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}=\cfrac{5^x}{x-3}$

一方、各関数の定義域はすべての実数で個別に構成されます。

$\text{Dom}(f)=\mathbb{R}\qquad\text{Dom}(g)=\mathbb{R}$

ただし、分数の分母にゼロは存在できないため、結果の関数の定義域では、分母 (x=3) を打ち消すすべての値を削除する必要があります。

$\displaystyle\text{Dom}\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\text{Dom}(f)\cap\text{Dom}(g)-\{x:g(x)=0\}=\mathbb{R}-\{3\}$

機能構成

関数の合成は最も複雑な概念であるため、解決するのが最も難しい操作です。

関数の合成は、 2 つの関数の連続した適用で構成されます。代数的には、2 つの関数の合成は次のように表されます。

$(g\circ f)(x)=g\Bigl(f(x)\Bigr)$

一方、関数の合成領域は、

$(g\circ f)(x)$

関数の定義域内の x のすべての値のセットと同等です

$f$

のような

$f(x)$

機能の領域に属します

$g.$

$\text{Dom}(g\circ f)=\{x\in\text{Dom}(f)\ | \ f(x)\in \text{Dom}(g)\}$

たとえば、次の 2 つの関数があるとします。

$f(x)=x^2+1 \qquad g(x)=3x-4$

複合関数を見つけるには

$f$

に続く

$g$

の式を置き換える必要があります

$f(x)$

どこにあるのか

$x$

の表現で

$g(x):$

$\begin{aligned}(g\circ f)(x)&=g\Bigl(f(x)\Bigr)\\[2ex]&= g\Bigl(x^2+1\Bigr)\\[2ex]&=3(x^2+1)-4\\[2ex]&=3x^2+3-4\\[2ex]&=3x^2-1\end{aligned}$

この場合、両方の関数の定義域は完全に実数で構成されているため、合成関数の定義域も実数で構成されます。

$\text{Dom}(g\circ f)=\mathbb{R}$

ご覧のとおり、関数の作成は理解するのが簡単な操作ではありません。したがって、次の関数合成の演習を行うことをお勧めします。

➤参照: 関数の構成に関する演習を解いてください

関数を使用した操作のプロパティ

関数を使用したすべての演算のうち、和と積は次の特性によって特徴付けられます。

結合プロパティ: 3 つ以上の関数の加算または乗算の順序は関係ありません。

$f(x)+\bigl[g(x)+h(x)\bigr]=\bigl[f(x)+g(x)\bigr]+h(x)$

$f(x)\cdot \bigl[g(x)\cdot h(x)\bigr]=\bigl[f(x)\cdot g(x)\bigr] \cdot h(x)$

可換性の性質: 2 つの関数の加算または乗算の順序は結果を変更しません。

$f(x)+g(x)=g(x)+f(x)$

$f(x)\cdot g(x)=g(x)\cdot f(x)$

中立要素:和演算と積演算には一定の中立要素関数があります。
$f(x)=0$

そして

$f(x)=1$

それぞれ。

対称要素: 和関数は逆の関数を持つ
$-f(x).$

分配プロパティ: このプロパティは演算の合計と積を結び付け、次の等式に基づいています。

$f(x)\cdot \bigl[g(x)+h(x)\bigr]=f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot h(x)$

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