関数の最大値と最小値 (相対的な極値)

この記事では、関数の最大値と最小値を計算する方法を説明します。2 つの例を段階的に解決して説明します。さらに、関数の最大値と最小値について段階的な演習を行って練習することができます。

関数の最大値と最小値は何ですか?

関数の最大値は関数の最大値であり、関数の最小値は関数の最小値です。関数の最大値と最小値は、環境内の最大値または最小値のみを表す場合は相対的な極値ですが、関数全体の最大値または最小値を表す場合は絶対的な極値になります。

関数の最大値と最小値

関数の増加と減少を調べることによって、相対的な極端さを特定することもできます。

  • ポイントは、関数が増加から減少に移行するときの相対最大値です。
  • ポイントは、関数が減少から増加に移行するときの相対的な最小値です。

関数の最大値と最小値を見つける方法

関数の一次導関数と二次導関数から、関数のある点に相対的な極値があるかどうか、またその点が相対的な最大値であるか相対的な最小値であるかを知ることができます。

  • 関数には、その一次導関数をキャンセルする点に関連する極値があります。

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • そして、関数の二次導関数の符号によって、その点が最大値か最小値かが決まります。
    • 二次導関数が負の場合、関数はその点で相対最大値を持ちます。

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • 二次導関数が正の場合、関数はその点で相対最小値を持ちます。

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class=例 1: 関数の最大値と最小値を計算する方法

      関数の最大値と最小値の定義を理解したら、関数の最大値と最小値がどのように計算されるかを確認できるように、例を段階的に解決していきます。

      • 次の関数の相対的な極値を計算し、それらが最大値であるか最小値であるかを判断します。

      f(x)=x^3-3x

      関数の相対的な極値は、次を満たす点になります。

      f'(x)=0

      。したがって、最初に関数の導関数を計算します。

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      次に、関数の導関数をゼロに設定し、結果として得られる二次方程式を解きます。

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      したがって、関数の相対的な極値は x=+1 および x=-1 になります。

      関数の相対的な極値がわかれば、二次導関数の符号によってそれらが最大値であるか最小値であるかを知ることができます。したがって、関数の二次導関数を計算します。

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      そして今度は、以前に見つけた相対的な極値を二次導関数で評価し、それらが相対的な最大値であるか最小値であるかを確認します。

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      相対最小値

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      最大相対値

      x=1 での 2 階導関数は正であるため、 x=1 は相対最小値になります。一方、x=-1 での 2 階導関数は負であるため、 x=-1 は相対最大値になります。

      最後に、見つかった点を元の関数に代入して、相対的な極値の Y 座標を見つけます。

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      結論として、関数の相対的な極値は次のとおりです。

      最小点まで

      \bm{(1,-2)}

      最大オンポイント

      \bm{(-1,2)}

      例 2: 単調性と関数の最大値と最小値の研究

      次に、別の種類の演習をどのように解決するかを見てみましょう。今回は関数の単調性から最大値と最小値を求める方法を説明します。

      • 単調性を調べて、次の関数の相対的な極値を計算します。

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      最初に行うことは、関数の定義域を計算することです。有理関数であるため、どの数値が関数の定義域に属していないのかを確認するには、分母を 0 に設定する必要があります。

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      関数の定義域を計算したら、どの点が一次導関数をキャンセルするかを検討する必要があります。したがって、次の関数を導出します。

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      そして、微分値を 0 に設定して方程式を解きます。

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      用語

      \left(x-1\right)^2}

      これには左側全体を除算する必要があるため、右側全体を乗算できます。

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      二次方程式を解くために共通因数を抽出します。

      x(x-2)=0

      乗算が 0 になるには、乗算の 2 つの要素のうちの 1 つがゼロでなければなりません。したがって、各係数を 0 に設定し、方程式の 2 つの解を取得します。

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      関数の定義域を計算したら、

      f'(x)=0

      、線上で見つかったすべての重要な点を表します。

      そして、関数が増加するか減少するかを知るために、各区間の導関数の符号を評価します。これを行うには、各区間の点 (臨界点ではない) を取得し、その点で導関数がどのような符号を持つかを調べます。

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      導関数が正の場合、関数が増加していることを意味しますが、導関数が負の場合、関数が減少していることを意味します。したがって、成長と衰退の間隔は次のようになります。

      成長：

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      減少：

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      さらに、x=0 では関数は増加から減少に転じるため、 x=0 は関数の相対最大値になります。そして、x=2 では、関数は減少から増加に移行するため、 x=2 は関数の相対最小値となります。

      最後に、元の関数で見つかった点を置き換えて、端の Y 座標を見つけます。

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      つまり、関数の相対的な極値は次のとおりです。

      最大オンポイント

      \bm{(0,0)}

      最小点まで

      \bm{(2,4)}

      関数の最大値と最小値に関する演習を解決しました

      演習 1

      次の多項式関数の相対極値を計算し、それらが最大値であるか最小値であるかを判断します。

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      関数の相対的な極値は、関数の一次導関数がゼロに等しい点になります。したがって、関数の導関数を計算します。

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      そして今、方程式を解きます

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      二次方程式があるので、それを解くために一般的な公式を適用します。

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      したがって、関数の相対的な極値は、点 x=3 および x=-1 になります。

      関数の相対的な極値がわかれば、二次導関数の符号によってそれらが最大値であるか最小値であるかを知ることができます。したがって、関数を再度微分します。

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      次に、前に計算した点を 2 次導関数で評価します。

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      x=3 での 2 階導関数は正であるため、 x=3 が最小値になります。そして、x=-1 における 2 階微分値は負であるため、 x=-1 は最大値になります。

      最後に、元の関数で見つかった点を置き換えて、端の Y 座標を見つけます。

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      つまり、関数の相対的な極値は次のとおりです。

      点に対する最小値

      \bm{(3,-27)}

      点に対する最大値

      \bm{(-1,5)}

      演習 2

      次の指数関数の相対極値を計算し、それらが最大値であるか最小値であるかを判断します。

      f(x)=e^x(x-1)

      まず、関数を区別する必要があります。これを行うには、積の導関数に次の式を適用します。

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      そして今、方程式を解きます

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      数値を累乗すると 0 になることはありません。したがって、次のようになります。

      e^x=0

      解決策はなく、唯一の相対的な極端なものは

      x=0

      。

      次に、関数の二次導関数を計算して、相対的な極値が最大値か最小値であるかを確認します。

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      そして今度は、以前に見つけた極値を 2 次導関数で評価し、それが最大値であるか最小値であるかを確認します。

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      x=0 での 2 階導関数は正であるため、 x=0 は相対最小値または極小値になります。

      最後に、元の関数で見つかった点を置き換えて、もう一方の端の座標を見つけます。

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      したがって、関数の唯一の相対極値は次のとおりです。

      最小点まで

      \bm{(0,-1)}

      演習 3

      単調性を研究し、次の有理関数の相対的な極値を見つけます。

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      まず、関数のドメインを決定します。これを行うには、分数の分母をゼロに設定し、結果として得られる二次方程式を解きます。

      x^2+1 = 0

      表現

      x^2+1

      x 2の結果は常に正の数または 0 になるため、0 になることはありません。したがって、1 を加算しても 0 になることはありません。したがって、関数の定義域は実数のみで構成されます。

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      次に、どの点が満たされるかを検討します

      f'(x)=0.

      商ルールを使用して関数を微分します。

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      導関数を 0 に設定し、方程式を解きます。

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      二次方程式があるので、それを解くために一般公式を使用します。

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      関数の定義域を計算したら、

      f'(x)=0

      、数直線上にあるすべての特異点を表します。

      次に、各区間の導関数の符号を評価して、関数が増加しているか減少しているかを確認します。したがって、各区間の点 (決して特異点ではない) を取得し、この点で導関数がどのような符号を持つかを調べます。

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      導関数が正の場合、その区間で関数が増加していることを意味しますが、導関数が負の場合、関数が減少していることを意味します。したがって、成長と衰退の間隔は次のようになります。

      成長：

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      減少：

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      関数は x=-0.41 で減少から増加に変化するため、 x=-0.41 は関数の極小値です。そして関数は x=2.41 で増加から減少に転じるので、 x=2.41 が関数の極大値になります。

      最後に、見つかった極値を元の関数に代入して、点の Y 座標を求めます。

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      したがって、関数の相対的な極値は次のようになります。

      最小点まで

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      最大オンポイント

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      演習 4

      私たちは関数が

      f(x)=x^2+ax+b

      点を通過する

      (1,-2)

      比較的極端な点があります

      x= -1 .

      未知数の値を決定する

      a

      との値

      b .

      関数に相対的な極値を持たせる

      x= -1

      つまり達成されたということです

      f'(-1)=0.

      したがって、次の関数の導関数を計算します。

      x= -1

      そしてそれを 0 に設定します。

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      そして、得られた方程式を解いてパラメーター a の値を求めます。

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      したがって、関数は次のようになります。

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      一方、関数は点を通過することがわかります。

      (1,-2) .

      つまり、

      f(1)=-2 .

      したがって、この条件を適用して変数 b の値を見つけることができます。

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      そして、得られた方程式を解いてパラメーター b の値を求めます。

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      したがって、関数は次のようになります。

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

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