補因子または補因子によって 4×4 行列の行列式を計算する方法

このページでは、加算または余因子によって行列式を解く方法と、次元 4×4 の行列の行列式を計算する方法を説明します。ただし、4 次の行列の行列式を解くには、まず行または列の随伴項を使用して行列式を計算する方法を知っておく必要があります。したがって、最初に随伴因子または補因子によって行列式を見つける方法を見て、次に次数 4 の行列式を作成する方法を見ていきます。

加算または余因子によって行列式を計算するにはどうすればよいですか?

行列式は、任意の行または列の要素の積をそれぞれの補数 (または余因子)で加算することによって計算できます。

この方法は、随伴因子または余因子によって行列式を解くと呼ばれます。また、ラプラスの法則 (またはラプラスの定理) を教えてくれる数学者さえいます。

代理人による行列式の解決の例:

3 × 3 行列の行列式を随伴法で解く実際の例を見てみましょう。次の決定要因を作ってみましょう。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

まず、行列式の列または行を選択する必要があります。この場合、最初の列を選択します。これは、0 があり、解決が容易であるためです。

ここで、最初の列の要素にそれぞれの代理要素を乗算する必要があります。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

0 の補数は 0 を掛けるとキャンセルされるため、計算する必要はありません。したがって、次のように単純化できます。

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

次に補数の計算に進みます。

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

の代理を計算するには、次のことを覚えておいてください。

$a_{ij}$

、つまりラインアイテム

$i$

そしてコラム

$j$

、次の式を適用する必要があります。

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

ここで、の相補的マイナーは

$a_{ij}$

行を削除した行列の行列式です。

$i$

そしてコラム

$j$

。

べき乗と行列式を解きます。

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

そして、計算機を使って操作します。

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

したがって、行列式の結果は -3 になります。

Sarrus の法則を使用して行列式を計算すると、同じ結果が得られることに注意してください。

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

行列式が代理人によって計算される方法がわかったら、次は 4 次の行列式の結果を求める方法がわかります。

4×4の行列式を計算するにはどうすればよいですか?

次数 4 の行列の行列式を解くには、先ほど見た手順を代理に適用する必要があります。つまり、任意の行または列を選択し、その要素の積をそれぞれの補数で加算します。

ただし、4 × 4 行列式でこの手順を使用すると、多くの 3 × 3 行列式を計算する必要があり、時間がかかる傾向があります。したがって、アジョイントを計算する前に、ガウス法と同様に、ラインに対して変換が実行されます。行列式の行は、同じ行と別の行の合計に数値を乗じたものに置き換えることができるためです。

したがって、代理によって次数 4 の行列式を計算するには、計算を容易にするため、最も多くの 0 を含む列を選択する必要があります。次に、行に対して内部操作を実行して、列内の 1 つを除くすべての要素が null になるようにします。

例を使用して 4×4 行列式がどのように作成されるかを見てみましょう。

4×4 行列式を解く例:

次の 4×4 正方行列の行列式を解きます。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

この場合、ゼロが最も多く含まれる列が最初の列になります。したがって、最初の列を選択します。

そして、この列に 1 があるという事実を利用して、最初の列の他のすべての要素を 0 に変換します。1 がある行を使用して計算を行う方が簡単であるためです。

したがって、列内の他のすべての要素を 0 にするには、最初の行を 2 行目に加算し、 2 を乗算した最初の行を 4 行目から減算します。 3 行目は、最初の列にすでに 0 があるため、変更する必要はありません。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

選択した列の 1 つを除くすべての要素を 0 に変換したら、代理によって行列式を計算します。つまり、列の要素の積をそれぞれの代理で追加します。

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

項に 0 を掛けるとキャンセルされるため、簡略化します。

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

したがって、1 の随伴を計算するだけで十分です。

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

Sarrus 則とべき乗を使用して行列式を計算します。

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

最後に、計算機を使用して演算を解決します。

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

4×4 行列式の演習問題を解いた

演習 1

次の次数 4 の行列式を解きます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

解決策を参照

余因子法を使用して 4×4 行列式の結果を求めます。ただし、最初に行に対して操作を実行して、列の 1 つを除くすべての要素をゼロに設定します。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

そして、行列式 4×4 を最後の列との随伴関数で解きます。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

用語を簡略化します。

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1 の随伴を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

そして最後に、Sarrus の法則を使用して 3×3 行列式を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

演習 2

次の次数 4 の行列式を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

解決策を参照

補因子によって 4×4 行列式を計算します。ただし、これを行うには、まず行に対して操作を実行して、列の 1 つを除くすべての要素を 0 に設定します。

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

ここで、行列式 4×4 を 2 番目の列との随伴関数によって解きます。

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

用語を簡略化します。

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1 の随伴を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

そして最後に、Sarrus ルールと電卓を使用して 3×3 行列式を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

演習 3

次の次数 4 の行列式の結果を求めます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

解決策を参照

4×4の行列式を議員で解きます。最初に行に対して操作を実行して、列内の 1 つの要素を除くすべての要素をゼロに変換します。

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

ここで、3 番目の列の代理によって行列式 4×4 を解きます。

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

用語を簡略化します。

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

1 の随伴を計算します。

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

最後に、Sarrus ルールと電卓を使用して 3×3 行列式を解きます。

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

演習 4

次の次数 4 の行列式の結果を計算します。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

解決策を参照

ラプラスの法則を使って行列式4×4を解きます。ただし、最初に行に対して操作を実行して、列内の 1 つを除くすべての要素をゼロに設定する必要があります。

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

ここで、最初の列の行列式 4×4 を代理して解きます。

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$