虚無能行列 - Mathority

このページでは、ゼロポテント行列とは何かについての説明と、それを理解して疑問を持たないようにいくつかの例を示します。さらに、零ポテント行列の構造と、これらのタイプの行列のすべてのプロパティを確認できるようになります。

ゼロポテント行列とは何ですか?

ゼロポテント行列の定義は次のとおりです。

零ポテント行列は、整数に累乗するとゼロ行列となる正方行列です。

$N^k =0$

金

$N$

はゼロポテント行列であり、

$k$

ゼロ行列を与えるべき乗の指数。

この条件は、零能行列の累乗が指数に関係なく常にゼロになることを意味するのではなく、むしろ、結果が 0 でいっぱいの行列になる行列の累乗が少なくとも 1 つ存在する場合、その行列は零能であることを意味します。

一方、虚数行列の虚数指数は、虚数条件を満たす最小の数です。また、 nilpotent 行列は次数kであるとも言えます。ここで、 kはその nilpotency インデックスです。

零ポテント行列の例

零ポテント行列の概念を理解するために、このタイプの行列の例をいくつか見ていきます。

2 × 2 の虚数行列の例

次の次元 2×2 の正方行列はゼロポテントです。

行列 A を二乗すると結果としてゼロ行列が得られるため、行列は零能です。

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 2 &-4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 &-4 \\[1.1ex] 1 & -2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \bm{0} &\bm{0} \\[1.1ex] \bm{0} & \bm{0} \end{pmatrix}$

したがって、ゼロ行列は 2 乗で得られるため、これは零行列であり、零行列の指数は 2 です。

3×3 虚数行列の例

次の次数 3 の正方行列はゼロポテントです。

ただし、行列を 2 に引き上げても、ゼロ行列は得られません。

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}-6&0&-6\\[1.1ex]0&0&0\\[1.1ex] 6&0&6\end{pmatrix}$

しかし、行列の 3 乗を計算すると、すべての要素が 0 に等しい行列が得られます。

$\displaystyle B^3= \begin{pmatrix}-6&0&-6\\[1.1ex]0&0&0\\[1.1ex] 6&0&6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&-2&1\\[1.1ex] 3&0&3\\[1.1ex] -1&2&-1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}\bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\\[1.1ex]\bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\\[1.1ex] \bm{0}&\bm{0}&\bm{0}\end{pmatrix}$