立方体の差 (または引き算)

このページでは立方体の差の因数分解方法（公式）を解説します。さらに、いくつかの例を確認し、段階的に解決される演習で練習することもできます。

キューブの違いは何ですか？

数学では、立方体の差 (または減算) は、立方根が正確な正の項と負の項で構成される二項式 (単項式が 2 つだけある多項式) です。言い換えると、立方体の差の代数式はa ³ -b ³です。

同様に、完全な立方体の違いは、注目すべき製品に対応します。それらが何であるかわからない場合は、 注目すべき製品、その計算方法、およびその目的について説明するこのページを残しておきます。

立方体の公式の違い

立方体の差または減算の定義を考えると、このタイプの顕著な等式を表す公式が何であるかがわかります。

したがって、立方体から 2 つの項を引くことは、これら 2 つの項の差に最初の項の 2 乗を乗算し、2 つの量の積を加えて 2 番目の項の 2 乗を加算したものと等しくなります。

したがって、立方体の差の公式を適用すると、多項式を 2 つの因数の積に変換するため、実際には次数 3 の多項式を因数分解することになります。因数分解多項式の詳細については、上のリンクをクリックしてください。

立方体の違いの例

完全立方体の差の概念を理解するために、公式を使用して立方体の減算を因数分解する例をいくつか見ていきます。

例1

次の式を使用して、次の立方体の差を因数分解します。

$x^3-8$

確かに、単項式の立方根なので、これは立方数の差です。

$x^3$

は正確です (10 進数は表示されません)。数字の 8 も同様です。

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3-8=x^3-2^3$

したがって、完全立方体の差の公式を使用して、三次式を二項式と三項式の積に変換できます。

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$x^3 -2^3 = (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2)$

あとは乗算とべき乗を行うだけです。

$x^3-2^3 = (x-2)(x^2+2x + 4)$

得られた式から、次のことが容易に判断できます。

$x=2$

は多項式の根です。この概念を完全に理解することが重要なので、よく理解していない場合は、 多項式の根を求める方法を確認することをお勧めします。

例 2

完全立方体減算式を使用して、次の負の二項を因数分解します。

$8x^3-1$

単項式の立方根なので、この問題の二項式も立方体の差になります。

$8x^3$

独立項 1 からの式は正確です:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3-1 =(2x)^3-1^3$

したがって、完全立方体を減算する公式を適用して多項式を簡略化できます。

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)\bigl((2x)^2+2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

そして最後に、結果の演算を計算するだけで済みます。

$(2x)^3-1^3 = (2x-1)(4x^2+2x + 1\bigr)$

これらは似た概念のように見えますが、立方体の違いは三次二項式と混同しないでください。後者は異なる (そしてより重要な) 単位であるためです。 3 乗二項公式とは何か、そしてこれら 2 つの注目すべき恒等式の違いは何なのかを確認できるように、このリンクを残しておきます。

解決された立方体差分問題

立方体の違いを解く方法を完全に理解できるように、段階的に解くいくつかの演習を用意しました。ご質問がございましたら、コメント欄 (下記) からお問い合わせください。⬇⬇

演習 1

次の立方体の差を公式を使用して因数分解します。

$x^6-27x^3$

解決策を参照

多項式の 2 つの要素の 3 次根は正確であるため、式は 3 乗の差に対応します。

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6-27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3$

したがって、完全立方体の差の公式を使用して、三次式を二項式と三項式の乗算に因数分解することができます。

$a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( \left(x^2\right)^2+x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

これですべての演算を解決し、因数分解された多項式を求めます。

$\bigl(x^2\bigr)^3-(3x)^3 = \left(x^2-3x\right)\left( x^4+3x^3 + 9x^2\right)$

演習 2

各積を立方体の差として表現します。

$\text{A)} \ (x-5)(x^2+5x+25)$

$\text{B)} \ (2x-7)(4x^2+14x+49)$

$\text{C)} \ (8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4)$

解決策を参照

3 つの演習の式は完全立方体の差 (または減算) の公式を尊重しているため、多項式の乗算を解くだけで十分です。

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x-5)(x^2+5x+25) = \\[2ex] = x^3+5x^2+25x-5x^2-25x-125 = \\[2ex] = x^3 -125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x-7)(4x^2+14x+49) = \\[2ex] = 8x^3+28x^2+98x-28x^2-98x-343 = \\[2ex] = 8x^3-343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x-y^2)(64x^2+8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3+64x^2y^2+8xy^4-64x^2y^2-8xy^4-y^6= \\[2ex] = 512x^3-y^6\end{array}$

👉👉👉 最後に、 二乗の減算を計算する方法を知りたいかもしれません。これは、先ほど説明したものと似たもう 1 つの注目すべきアイデンティティです (ただし、より広く使用されています)。リンクをクリックして、これら 2 つの注目すべきアイデンティティの違いを確認してください。

立方体の差（または引き算）

キューブの違いは何ですか？

立方体の公式の違い

立方体の違いの例

例1

例 2

解決された立方体差分問題

演習 1

演習 2

コメントする返信をキャンセル

キューブの違いは何ですか？

立方体の公式の違い

立方体の違いの例

例1

例 2

解決された立方体差分問題

演習 1

演習 2

コメントする 返信をキャンセル

コメントする返信をキャンセル