直線のベクトル方程式

このページでは、直線のベクトル方程式を計算する方法を説明します。さらに、いくつかの例を確認し、解決された演習で練習することができます。また、線の点がベクトル方程式からどのように取得されるのかもわかります。

直線のベクトル方程式は何ですか?

線の数学的定義は、曲線や角度を持たずに同じ方向に表現される一連の連続する点であることに注意してください。

したがって、線ベクトル方程式は、任意の線を数学的に表現する方法です。そして、このために必要なのは、線に属する点と線の方向ベクトルだけです。

直線のベクトル方程式はどのように計算されるのでしょうか?

うん

$\vv{\text{v}}$

は直線の方向ベクトルであり、

$P$

右側に属する点:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

直線のベクトル方程式の式は次のとおりです。

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
$P_1$

そして

$P_2$

は、ラインの一部である既知の点の座標です。
$\text{v}_1$

そして

$\text{v}_2$

は線の方向ベクトルの成分です。
$t$

はスカラー (実数) であり、その値は線上の各点に依存します。

これは、平面内の直線のベクトル方程式、つまり 2 つの座標 (R2 内) の点とベクトルを操作する場合です。ただし、空間 (R3) で計算を行っている場合は、直線の方程式に追加のコンポーネントを追加する必要があります。

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

一方、ベクトル方程式とは別に、直線を解析的に表現する他の方法があることに注意してください。パラメトリック方程式、連続方程式、陰的 (または一般) 方程式、陽的方程式、および直線の点と傾き方程式です。。このリンクの行にあるすべてのタイプの方程式を確認できます。

直線のベクトル方程式を求める方法の例

例を使用して、直線のベクトル方程式がどのように決定されるかを見てみましょう。

点を通る直線のベクトル方程式を書きます
$P$

そして持っています

$\vv{\text{v}}$

誘導ベクトルとして:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

直線のベクトル方程式を見つけるには、その公式を適用するだけです。

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

直線のベクトル方程式から点を取得する

直線のベクトル方程式を見つけたら、その直線が通過する点を計算するのは非常に簡単です。直線上の点を決定するには、パラメータに値を与えるだけです。

$\bm{t}$

直線のベクトル方程式の。

たとえば、次の直線のベクトル方程式があるとします。

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

交代することで得点が入る

$t$

たとえば、任意の数値で

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

そして、未知の値を与える線上の別の点を計算できます。

$t$

別の番号、たとえば

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

したがって、直線上に無限に多くの点を取得できます。

$t$

無限の値を取ることができます。

直線のベクトル方程式の問題を解決しました

演習 1

点を通る直線のベクトル方程式を求めます。

$P$

そしてその方向ベクトルは

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

解決策を参照

直線のベクトル方程式を計算するには、その式を適用するだけです。

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

演習 2

前の問題から直線上にある 3 つの点を計算します。

解決策を参照

ベクトル方程式で記述された直線から点を求めるにはパラメータに値を与える必要があります

$t.$

前の問題で計算されたベクトル方程式は次のとおりです。

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

点を計算するには、未知の値を代入します

$t$

たとえば

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

2 番目の点を見つけるために、

$t$

たとえば、の値

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

そして最後に、代入して 3 番目の点を取得します。

$t$

の値

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

パラメータに与える値によって異なるため、異なるポイントが得られる場合があります

$t.$

ただし、同じ手順に従えば、すべて問題ありません。

演習 3

または次の 2 点:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

これら 2 点を通る直線のベクトル方程式を求めます。

解決策を参照

この場合、線の方向ベクトルがありません。まずその方向ベクトルを見つけてから、線の方程式を見つける必要があります。

したがって、線の方向ベクトルを見つけるには、指定された 2 つの点によって定義されるベクトルを計算する必要があります。

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

そして、線の方向ベクトルがすでにわかっていると、指定された点の 1 つと次の式からそのベクトル方程式を決定できます。

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

他の指定された点を式に代入することで得られる方程式も有効です。

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

直線のベクトル方程式は何ですか?

直線のベクトル方程式はどのように計算されるのでしょうか?

直線のベクトル方程式を求める方法の例

直線のベクトル方程式から点を取得する

直線のベクトル方程式の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

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