点と線の間の距離 - マソリティ

ここでは、点と線の間の距離を計算するために使用される公式を示します。さらに、点と線の間の距離のいくつかの例と解答済みの演習、さらにはこの操作の応用 (たとえば、平行線の間の距離を求める) も見ることができます。

点と線の間の距離の公式

点と線の間の距離は、その点と線の間の最短距離です。数学的には、この最小距離は、点から線まで描かれ、線に垂直な線分の長さに相当します。

点と線の間の距離の幾何学的な概念を理解したら、その距離を計算するために使用される公式を見てみましょう。

直線の暗黙的な (または一般的な) 方程式と平面上の任意の点の座標が与えられると、次のようになります。

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad P(p_x,p_y)$

点と線の間の距離の公式は次のとおりです。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

重要:式内の直線の方程式は暗黙的な (または一般的な) 方程式の形式であることに注意してください。そのため、別のタイプの方程式で表現された直線がある場合は、最初にそれを暗黙的な方程式に渡し、次にそれを渡す必要があります。公式を適用することができます。

点と線の間の距離を計算する例

以下に、点と線の間の距離を計算する例を示します。

点間の距離を求める
$P$

そして法律

$r:$

$P(2,-1) \qquad \qquad r: \ 3x+4y-5=0$

点と線の間の距離を計算するには、次の式を適用するだけです。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ここで、各項をその値に置き換えます。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot 2 + 4\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+4^2}}$

そして最後に距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 6 -4-5\rvert}{\sqrt{9+16}} =\cfrac{\lvert -3 \rvert}{\sqrt{25}} = \mathbf{\cfrac{3}{5}}$

2 本の平行線の間の距離

線と点の間の距離を計算する応用の 1 つは、平行線の間の距離を求めることです。

明らかに、以下で説明する概念を理解するには、平行線が何であるかを知っておく必要があります。そのため、その定義を正確に知らない場合は、詳細を説明するリンクを残し、例も見ることができます。平行線のこと。

2 本の平行線の間の距離を求めるには、2 本の線の一方の点を取り、その点からもう一方の線までの距離を計算します。

したがって、2 本の平行線の間の距離を決定するには、線と点の間の距離の公式も使用されます。

一方、この式を使用したときに距離が 0 単位になった場合、これは線がある点で互いに接触しており、したがって線が平行ではなく交差、一致、または直交していることを意味します。必要に応じて、このタイプのラインの違いを当社の Web サイトで確認できます。

それでは、例を通して 2 本の平行線間の距離の問題を解決する方法を見てみましょう。

次の 2 本の平行線の間の距離を求めます。

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

最初に行う必要があるのは、線の 1 つ (目的の線) 上で点を取得することです。この場合、線上の点を計算します。

$s.$

これを行うには、変数の 1 つに値を与える必要があります。たとえば、次のようにします。

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

そして今、他の変数をクリアします(

$y$

) この時点での価値を知るために得られた方程式:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

したがって、直線から得られる点は、

$s$

東：

$P(0,-2)$

直線上にすでに点がある場合、次の式を使用してその点から他の直線までの距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

点と線の間の距離の問題を解決しました

演習 1

点間の距離を計算する

$P$

そして法律

$r:$

$P(4,2) \qquad \qquad r: \ 5x-3y+6=0$

解決策を参照

点と線の間の距離を求めるには、次の公式を適用するだけです。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

各項をその値に置き換えて距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 5\cdot 4 + (-3)\cdot 2+6\rvert}{\sqrt{5^2+(-3)^2}}=\cfrac{20}{\sqrt{34}}= \bm{3,43}$

演習 2

点間の距離はどれくらいですか

$P$

そして法律

$r$

$P(-3,-1) \qquad \qquad r: \ y=-3x+5$

解決策を参照

この場合、直線の方程式は暗黙的な (または一般的な) 形式になります。代わりに、点から線までの距離の公式を使用するには、線を暗黙的な方程式として表現する必要があります。したがって、最初に直線を変換し、それを暗黙的な方程式に渡す必要があります (方程式の同じ側にあるすべての項を渡すだけです)。

$r: \ 3x+y-5=0$

線がすでに明示的な形式になっていると、点と線の間の距離の公式を使用できるようになります。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

したがって、各項をその値に置き換えて距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 3\cdot (-3) + 1\cdot (-1)-5\rvert}{\sqrt{3^2+1^2}}=\cfrac{\lvert -9-1-5\rvert}{\sqrt{9+1}}=\cfrac{15}{\sqrt{10}}= \bm{4,74}$

演習 3

次の 2 つの線の間の距離はどれくらいですか?

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

解決策を参照

まず、これらが 2 本の平行線であることを確認します。このため、変数の係数は

$x$

そして

$y$

相互に比例する必要がありますが、独立した項には比例しません。

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

確かに、線は平行なので、この手順を適用できます。

次に、線の 1 つ (必要な線) から点を取得する必要があります。この場合、線上の点を計算します。

$s.$

これを行うには、変数の 1 つに値を割り当てる必要があります。たとえば、次のようにします。

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

そして今、他の変数をクリアします(

$y$

) この時点での値を知るために得られた方程式の次のとおりです。

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

したがって、直線から得られる点は

$s$

東：

$P(0,-1)$

線上の点がわかったら、次の式を使用してその点から他の線までの距離を計算します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

演習 4

未知の値を計算する

$k$

点間の距離が

$P$

そして法律

$r$

つまり5単位です。

$P(-2,5) \qquad \qquad r: \ 12x-5y+k=0$

解決策を参照

まず、点と線の間の距離の公式を適用する必要があります。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

ここで、各項をその値に置き換えて式を簡略化します。

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 12\cdot (-2) + (-5)\cdot 5+k\rvert}{\sqrt{12^2+(-5)^2}}= \cfrac{\lvert -24-25+k\rvert}{\sqrt{169}}=\cfrac{\lvert -49+k\rvert}{13}$

問題のステートメントは、点と線の間の距離が 5 に等しくなければならないことを示しているため、前の式を 5 に等しくします。

$\cfrac{\lvert -49+k\rvert}{13}=5$

そして、結果として得られた方程式を解きます。分数の分子には絶対値があるため、絶対値が正の場合と負の場合を別々に分析する必要があります。

$\cfrac{+(-49+k)}{13}=5$

$-49+k= 5 \cdot 13$

$-49+k= 65$

$k= 65+49$

$\bm{k= 114}$

$\cfrac{-(-49+k)}{13}=5$

$49-k= 5 \cdot 13$

$49-k= 65$

$49-65=k$

$\bm{-16=k}$

したがって、可能な値は 2 つあります。

$k$

正しい：

$k=114$

どちらか

$k=-16.$

点と線の間の距離の公式

点と線の間の距離を計算する例

2 本の平行線の間の距離

点と線の間の距離の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

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