▷ 正弦の導関数（公式と練習問題は解決済み）

この記事では、サイン微分値（公式）の作り方を解説します。正弦関数の導関数の例と、段階的に解決された練習問題が見つかります。さらに、sine の 2 階導関数、sine の逆導関数を示し、sine の導関数の公式も示します。

サインの導関数は何ですか?

サイン関数の導関数はコサイン関数です。したがって、x のサインの導関数は x のコサインと等しくなります。

$f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)$

sine 引数に関数がある場合、sine の導関数は、その関数のコサインに関数の導関数を乗算したものになります。

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

正弦導関数のこの 2 番目の式は、最初の式に連鎖則を適用することによって得られます。要約すると、正弦関数の導関数の公式は次のようになります。

正弦微分の例

サイン微分の公式が何であるかを理解したら、サイン関数の導出方法を完全に理解できるように、このタイプの三角関数の微分の例をいくつか説明します。

例 1: 2x の正弦の導関数

$f(x)=\text{sen}(2x)$

サイン引数には x とは異なる関数があるため、サインを導出するには次の式を使用する必要があります。

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

2x の導関数は 2 であるため、2x のサイン導関数は、2x のコサインと 2 の積になります。

$f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)$

例 2: x の 2 乗の正弦の導関数

$f(x)=\text{sen}(x^2)$

サイン関数の導関数の式は次のとおりです。

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

x ²の導関数は 2x に等しいため、x の正弦の 2 乗の導関数は次のようになります。

$f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x$

例 3: サイン 3 乗の導関数

$f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)$

この例では、サイン関数は別の関数で構成されているため、サインを区別するには次のルールを使用する必要があります。

$f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'$

したがって、関数の導関数は次のようになります。

$f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)$

➤この関数を導出するには、べき乗の導関数の公式も適用する必要があります。

サインの二次導関数

次に、サイン関数の二次導関数を分析します。これは三角関数であるため、特定の特性を示します。

上で見たように、サインの導関数はコサインです。コサインの導関数はサインですが、符号が変わります。これは、サインの二次導関数はサイン自体ですが、符号が変更されていることを意味します。

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}$

ただし、sine 引数が x ではない場合、連鎖ルール項をドラッグする必要があるため、この条件は変わります。

$\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}$

逆正弦微分関数

ご存知のとおり、すべての三角関数には逆関数があるため、逆正弦も微分可能です。

逆サインの導関数は、引数関数の導関数を 1 の平方根で割った商から引数関数の 2 乗を引いた商に等しくなります。

$f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

逆サインはアークサインとも呼ばれることを覚えておいてください。

たとえば、5x の逆正弦導関数は次のようになります。

$f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}$

正弦微分に関する演習を解決しました

次の正弦関数の導関数を計算します。

$\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)$

$\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)$

$\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)$

$\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)$

$\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)$

$\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)$

解決策を見る

$\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)$

$\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)$

$\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}$

$\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)$

$\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}$

$\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4$

サイン微分のデモンストレーション

このセクションでは、次の導関数の定義を使用して、x のサインの導関数が x のコサインであることを示します。

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

この場合、導出される関数は sin(x) であるため、次のようになります。

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}$

合計の正弦は、次の三角関数恒等式を適用することで書き換えることができます。

$\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}$

分数を同じ分母を持つ 2 つの分数に変換します。この操作ができるのは、和の極限の法則のおかげです。

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]$

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}$

➤参照: 限界の法則

x のサインと x のコサインの項は h の値に依存しないため、制限の外にそれらを取り出すことができます。

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}$

ここでしなければならないのは、次の 2 つの三角関数の制限を適用することだけです。

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0$

➤注:当社 Web サイトの検索エンジンで、以前の 2 つの三角関数の限界のデモンストレーションを検索できます。

$\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1$

$\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)$

したがって、x のサインの導関数が x のコサインであることを示します。

乳房由来

サインの導関数は何ですか?

正弦微分の例

例 1: 2x の正弦の導関数

例 2: x の 2 乗の正弦の導関数

例 3: サイン 3 乗の導関数

サインの二次導関数

逆正弦微分関数

正弦微分に関する演習を解決しました

サイン微分のデモンストレーション

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