正方行列 - マソリティ

このページでは、正方行列とは何かを説明し、正方行列の例を示します。さらに、正方行列が持つ特性、正方行列で実行できる演算、および存在するさまざまなタイプについても説明します。

正方行列とは何ですか?

正方行列とは、行と列の数が同じ行列。

正方行列の例

次数 2 の正方行列

次数 3 の正方行列

次数 4 の正方行列

ご覧のとおり、正方行列は通常、次数によって名前が付けられます。つまり、次数 2 の正方行列は、次元 2×2 (2 行 2 列) の行列であることを意味します。または、次数 3 の正方行列について話します。これは、サイズが 3×3 (3 行 3 列) であることを示します。

正方行列の対角線

正方行列の対角線には特定の名前があり、主対角線と副対角線があります。

正方行列の主対角は、左上隅から右下隅までの要素で構成されます。

正方行列の二次対角は、左下隅から右上隅に向かう要素に対応します。

正方行列の性質

正方行列は線形代数で広く使用されているため、非常に重要です。それでは、このクラスの行列を非常に重要なものにする特徴は何なのかを見てみましょう。

任意の正方行列は、対称行列と非対称行列の和に分解できます。

2 つの正方行列が同じ次数であれば、相互に加算または減算できます。

$\begin{pmatrix}5&2&-3\\[1.1ex] 1&9&7\\[1.1ex] 4&1&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}2&3&0\\[1.1ex] 8&6&-4\\[1.1ex] 1&3&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&5&-3\\[1.1ex] 9&15&3\\[1.1ex] 5&4&-3\end{pmatrix}$

2 つの正方行列は、可能な両方向に乗算できます。ただし、正方行列の積は可換ではありません。つまり、どちらの辺を掛けるかによって乗算結果が変わります。次の例では、結果が行列の位置にどのように依存するかに注目してください。

$\begin{pmatrix}3&-1\\[1.1ex] 4&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}5&2\\[1.1ex] 3&1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12&5\\[1.1ex] 20&8\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}5&2\\[1.1ex] 3&1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3&-1\\[1.1ex] 4&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}23&-5\\[1.1ex] 13&-3\end{pmatrix}$

行列式を計算できるのは正方行列だけです。したがって、行列式は正方行列の場合にのみ解くことができます。たとえば、3×3 正方行列の行列式を求めるには、Sarrus の法則を適用する必要があります。

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \\[1.1ex] -1 & 5 & 1 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot 2 \cdot 1 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 0 \cdot 5 \cdot 1 \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot 2 \cdot 1 - 5\cdot 4 \cdot 1 - 0 \cdot 3 \cdot 1 \\[2.5ex] & =2 -12 +0 +2-20-0 \\[2.5ex] & = -28 \end{aligned}$