正接関数 - マソリティ

このページでは、タンジェント関数とは何か、その公式、グラフでの表現方法、関数の特徴、周期など、タンジェント関数についてすべてを説明します。さらに、接線関数の例を見て、概念を完全に理解することができます。彼は、正接定理や正接関数が他の三角関数の関係と持つ関係についても説明しています。

正接関数の式

角度αの正接関数は三角関数であり、その式は直角三角形（直角の三角形）の反対側の枝と隣接する（または隣接する）枝の間の比として定義されます。

このタイプの数学関数は、タンジェントイド、タンジェノイド、またはタンジェンシャル関数とも呼ばれます。また、「tg」または「tan」という略語で表現されることもあります。

タンジェント関数は、角度のサインおよびコサインと並んで、最もよく知られている 3 つの三角比の 1 つです。

正接関数の特性値

頻繁に繰り返される特定の角度があるため、これらの角度での正接関数の値を知っておくと便利です。

一方、タンジェント関数は、次の基本的な三角関数の恒等式によってサイン関数とコサイン関数に関連付けることができます。

$\text{tg } \alpha = \cfrac{\text{sen }\alpha}{\text{cos }\alpha}$

したがって、正接関数の符号は、角度が位置する象限によって異なります。

角度が第 1 象限に属している場合、この象限ではサインとコサインも正であるため、その正接は正になります。
角度が第 2 象限にある場合、この象限ではサインは正ですがコサインは負であるため、その正接は負になります。
角度が第 3 象限にある場合、この象限ではサインとコサインが負であるため、そのタンジェントは正になります。
角度が第 4 象限にある場合、この象限ではサインが負であり、代わりにコサインが正であるため、その正接は負になります。

正接関数のグラフ表示

前のセクションで見た値の表を使用して、正接関数をグラフ化できます。そして、正接関数をグラフ化すると、次のことが得られます。

グラフからわかるように、正弦関数や余弦関数とは異なり、正接関数の画像の値には制限がありません。さらに、値は 180 度 (π ラジアン) ごとに繰り返されるため、周期が 180 度の周期関数になります。

一方、このグラフでは、正接関数が奇数であることがわかります。これは、正接関数の反対側の要素が反対のイメージを持っているためです。つまり、原点 (0,0) に対して対称であるためです。たとえば、45°のタンジェントは 1 の価値があり、-45° のタンジェントは -1 の価値があります。

最後に、正接関数には垂直方向の漸近線があることもわかります。たとえば、x=90 度の線に非常に近づきますが、決して触れず、同じことが 180 度ごとに発生します。これは、これらの点での関数の限界が無限大になる傾向があることを意味します。

正接関数のプロパティ

正接関数には次の特徴があります。

正接関数の定義域は、垂直漸近線がある点を除き、すべて実数です。

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{(2k+1)\cdot \frac{\pi}{2} \right\} \qquad k \in \mathbb{Z}$

$\displaystyle \text{Dom } f = \mathbb{R} - \left\{\ldots \ , \ -\frac{\pi}{2} \ , \ \frac{\pi}{2} \ , \ \frac{3\pi}{2} \ , \ \ldots \right\}$

正接関数の範囲はすべて実数です。

$\text{Im } f= \mathbb{R}$

これは、周期 π を持つ連続奇関数です。

$\displaystyle \text{tg}(-x) =- \text{tg }x$

このタイプの三角関数は、点 (0,0) に y 軸 (Y 軸) との交点が 1 つあります。

$(0,0)$

代わりに、pi のいくつかの座標で横座標 (X 軸) を定期的に切断します。

$\displaystyle (k\pi ,0) \qquad k \in \mathbb{Z}$

この関数は厳密にドメイン全体で増加しているため、最大値も最小値もありません。

タンジェントの導関数は次のとおりです。

$f(x)=\text{tg } x \ \longrightarrow \ f'(x)= 1+\text{tg}^2 x=\cfrac{1}{\text{cos}^2 x} =\text{sec}^2 x$

最後に、正接関数の積分は次のようになります。

$\displaystyle \int \text{tg } x \ dx= -\ln \lvert \text{cos }x \rvert + C$

正接関数の周期

サインやコサインなどの他の三角関数とは異なり、正接関数には最大値も最小値もないため、大きさはありません。ただし、これは周期関数です。つまり、グラフで見たように、その値はある周波数で繰り返されます。

$\displaystyle f(x)= \text{tg}(wx)$

正接関数の周期は、グラフが繰り返される 2 点間の距離であり、次の式で計算されます。

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{\pi}{w}$

正接定理

正接の公式は通常直角三角形で使用されますが、あらゆる種類の三角形に適用できる定理、正接定理もあります。

正接定理は、三角形の辺と角度を次のように関連付けます。

$\displaystyle \cfrac{a+b}{a-b} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{a+c}{a-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\alpha+\gamma \vphantom{\beta}}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\alpha-\gamma\vphantom{\beta}}{2}\right)}$

$\displaystyle \cfrac{b+c}{b-c} = \cfrac{ \text{tg}\left(\frac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\text{tg}\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)}$

正接関数と他の三角比の関係

以下に、三角法の最も重要な三角比と接線の関係を示します。

乳房との関係

角度のタンジェントとサインは次のような関係があります。

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\text{sen }\alpha }{\sqrt{1-\text{sen}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

コサイン比

同様に、角度のタンジェントとコサインは次の等式に関係します。

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{\sqrt{1-\text{cos}^2\alpha \vphantom{\bigl( }} }{\text{cos }\alpha}$

コセカントとの関係

証明するのは難しいですが、接線はコセカントのみに依存するように解くことができます。

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 \vphantom{\bigl( }}}$

セカントとの関係

角度のタンジェントとセカントは次の方程式で関係付けられます。

$\displaystyle \text{tg }\alpha = \pm\sqrt{\text{sec}^2\alpha -1$

コタンジェントとの関係

タンジェントとコタンジェントは乗法逆数です。

$\displaystyle \text{tg }\alpha =\pm \cfrac{1}{\text{cot }\alpha}$