対数関数の微分

ここでは、任意の底 (公式) で対数関数の導関数を解く方法を示します。さらに、対数関数の微分に関するステップバイステップの演習を行うことができます。

対数関数を除算する公式は、対数が自然対数 (底が e) であるか、別の底であるかによって異なります。したがって、最初に 2 つの公式をそれぞれの場合の例とともに個別に確認し、次に 2 つのルールを要約します。

自然または自然対数の導関数

自然対数の導関数 (または自然対数) は、対数の引数の導関数を引数の関数で割った商です。

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}$

論理的には、対数内の関数が恒等関数の場合、導関数の分子には 1 が残ります。

$f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}$

3x の自然対数の微分を解く次の例を見てください。

$f(x)=\ln(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{3x}=\cfrac{1}{x}$

自然対数は数値 e (オイラー数) を底とする対数であることを思い出してください。

$\ln(x)=\log_e(x)$

に基づく対数の導関数

任意の底に対する対数の導関数は、元の対数の底の自然対数を x 倍した積で 1 を割った値に等しくなります。

$f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}$

したがって、連鎖ルールを適用すると、対数導関数ルールは次のようになります。

$f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}$

たとえば、x の 2 を底とする対数の 2 乗の導関数は次のようになります。

$f(x)=\log_2(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2x}{x^2\cdot\ln(2)}=\cfrac{2}{x\ln(2)}$

対数関数の導関数の公式

対数導関数の定義とその 2 つの可能な変形を考慮して、覚えやすくするために 2 つの公式を要約します。

対数関数の導関数の問題を解決しました

演習 1

次の対数関数を導出します。

$f(x)=\log(3x^2)$

解決策を参照

この場合、10 進数の対数の微分を解く必要があるため、次の公式を適用する必要があります。

$f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}$

したがって、10 を底とする対数の導関数は次のようになります。

$f(x)=\log(3x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{6x}{3x^2\cdot \ln(10)}=\cfrac{2}{x \ln(10)}$

対数に底がない場合は、底が 10 であることを意味することに注意してください。

演習 2

次の自然 (または自然) 対数を導出します。

$f(x)=\ln\left(x^3+4x^2\right)^5$

解決策を参照

この問題の関数は自然対数であるため、次の規則を使用して対数関数を導出する必要があります。

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}$

したがって、自然対数の導関数は次のようになります。

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5\left(x^3+4x^2\right)^4\cdot (3x^2+8x)}{\left(x^3+4x^2\right)^5}\\[2ex] &=\cfrac{5\cdot (3x^2+8x)}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x^2+40x}{x^3+4x^2}\\[2ex] &=\cfrac{15x+40}{x^2+4x}\end{aligned}$

演習 3

次の対数を導出します。

$f(x)=\log_7(x^5+7x^2-3x+1)$

解決策を参照

この演習では、7 を底とする対数を導出する必要があるため、次の式を使用します。

$f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}$

そして、対数の導関数は次のようになります。

$f'(x)=\cfrac{5x^4+14x-3}{(x^5+7x^2-3x+1)\cdot \ln(7)}$

演習 4

次の対数関数の導関数を分数で求めます。

$\displaystyle f(x)=\log_4\left(\frac{5x}{8x^2-1}\right)$

解決策を参照

対数微分を解くには、まず対数の性質を適用して関数を単純化します。

$f(x)=\log_4(5x)-\log_4(8x^2-1)$

ここで、対数導関数の式を 2 回使用する必要がありますが、どちらの導関数も計算が簡単です。

$f(x)=\log_a(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u\cdot \ln(a)}$

要約すると、関数の導関数は次のようになります。

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{5}{5x\cdot \ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\cdot \ln(4)}\\[2ex]&=\cfrac{1}{x\ln(4)}-\cfrac{16x}{(8x^2-1)\ln(4)}\end{aligned}$

演習 5

次の対数関数の導関数を 1 根で計算します。

$f(x)=\ln\left(\sqrt[4]{\text{cos}(9x)}\right)$

解決策を参照

まず、対数の性質を使用して関数を単純化します。

$f(x)=\ln\left(\text{cos}(9x)\right)^{\frac{1}{4}}$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\ln\left(\text{cos}(9x)\right)$

そして、関数から根号を削除したら、自然または自然対数の導関数の規則を使用します。

$f(x)=\ln(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{u}$

したがって、合成対数関数の導関数は次のようになります。

$f'(x)&=\cfrac{1}{4}\cdot \cfrac{-\text{sen}(9x)\cdot 9}{\text{cos}(9x)}=\cfrac{-9\text{sen}(9x)}{4\text{cos}(9x)}$

自然または自然対数の導関数

に基づく対数の導関数

対数関数の導関数の公式

対数関数の導関数の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

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