▷ 定数の導関数（解決例）

ここでは、定数の微分値がどれくらいの価値があるかを説明します (例を示します)。また、定数を関数で乗算したり、定数を関数で除算したり、定数を関数として累乗したりする導関数を計算する方法も教えます。最後に、定数の導関数に関する演習を解いて練習することができます。

定数の導関数とは何ですか

定数の導関数は、定数の値に関係なく、常に 0 です。

$f(x)=k \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=0$

したがって、定数関数の導関数を求めるには、計算を行う必要はなく、導関数は単にゼロになります。

定数関数のグラフには傾きがないため、定数の導関数はゼロになります。

定数の導関数の例

定数関数の導関数の定義を考慮して、概念を完全に理解するためにいくつかの解決例を見ていきます。

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

ご覧のとおり、定数の微分値は常に 0 になります。定数の符号が正か負か、または定数の値が非常に大きいか非常に小さいかに関係なく、その微分値は 0 になります。

定数の導関数の証明

定数の導関数がどのくらいであるかを確認したら、このタイプの導関数がゼロに等しい理由を示します。

fを任意の値の定数関数とします。

$f(x)=k$

ある点における関数の導関数を計算する式は次のとおりです。

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

➤参照: 導関数の定義

したがって、定数関数の極限を解くと次のようになります。

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{k-k}{h}=\frac{0}{h}=0$

したがって、定数関数の導関数はすべての点で 0 になります。したがって、定数の導関数の公式を説明します。

関数による定数の導関数

単一の定数、つまり変数を持たない関数の導関数を分析しました。ただし、ご存知のとおり、演算を使用して関数を組み合わせることができます。したがって、以下では、他のタイプの関数と組み合わせた定数の導関数、たとえば、別のタイプの関数を乗算した定数の導関数を検討します。

定数に関数を乗算した導関数は、定数に関数の導関数を乗算したものと等しくなります。

$f(x)=k\cdot g(x)\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=k\cdot g'(x)$

たとえば、次の二次関数の微分は次のようになります。

$g(x)=x^2\quad \longrightarrow\quad g'(x)=2x$

したがって、この関数に定数を乗算した導関数は、前のステップで計算された導関数に定数を乗算することと同じです。

$f(x)=5\cdot x^2\quad \longrightarrow\quad f'(x)=5\cdot 2x=10x$

関数間の定数の導関数

関数間の定数の導関数は、変更された定数と関数の導関数を二乗関数で割った値の積に等しくなります。

$f(x)=\cfrac{k}{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{-k\cdot g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^2}$

たとえば、次の定数を一次関数で割った導関数は次のようになります。

$f(x)=\cfrac{3}{8x}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\cfrac{-3\cdot 8}{\bigl[8x\bigr]^2}=\cfrac{-24}{64x^2}=\cfrac{-3}{8x^2}$

8xの導関数は8なので。

関数内で発生した定数の導関数

関数として導出された定数の導関数は、定数の自然対数と関数として導出された定数と関数の導関数の積に等しくなります。

$f(x)=k^{g(x)}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\ln(k)\cdot k^{g(x)} \cdot g'(x)$

たとえば、サインの導関数はコサインであるため、大きな定数をサインに微分すると次のようになります。

$f(x)=2^{sen(x)}\quad\longrightarrow\quad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^{sen(x)} \cdot cos(x)$

定数の微分に関する演習を解決しました

次の定数の導関数を解きます。

$\text{A)}\ f(x)=4$

$\text{B)}\ f(x)=99$

$\text{C)}\ f(x)=-15$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{3}{11}$

$\text{E)}\ f(x)=\sqrt{29}$

$\text{F)}\ f(x)=2\pi$

$\text{G)}\ f(x)=2\cdot (3x-4)$

$\text{H)}\ f(x)=\cfrac{10}{x^2}$

$\text{I)}\ f(x)=5^{x^3+2x}$

解決策を見る

演習 F) までは、すべての関数は単純な定数値であるため、すべての導関数はゼロになります。

$\text{A)}\ f'(x)=0$

$\text{B)}\ f'(x)=0$

$\text{C)}\ f'(x)=0$

$\text{D)}\ f'(x)=0$

$\text{E)}\ f'(x)=0$

$\text{F)}\ f'(x)=0$

たとえそれが分数や根であっても、関数に変数がなければ、それは定数関数であることを意味し、したがってその導関数はゼロになります。

対照的に、次の 3 つの演習は、定数と他の関数の演算である関数です。したがって、それらの導関数を計算するには、対応する式を適用する必要があります。

$\text{G)}\ f'(x)=2\cdot 3=6$

$\text{H)}\ f'(x)=\cfrac{-10\cdot 2x}{\bigl[x^2\bigr]^2}=\cfrac{-20x}{x^4}=\cfrac{-20}{x^3}$

$\text{I)}\ f(x)=\ln(5)\cdot 5^{x^3+2x}\cdot (3x^2+2)$

定数から導出

定数の導関数とは何ですか

定数の導関数の例

定数の導関数の証明

関数による定数の導関数

関数間の定数の導関数

関数内で発生した定数の導関数

定数の微分に関する演習を解決しました

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