4位のペア

このページでは、二項式から 4 番目までの公式を示し、このタイプの二項演算の解き方を例を挙げて説明します。さらに、仲間から4年生まで段階的に解いた練習問題で練習することができます。

四半期二項式

数学では、 2 項の 4 乗は、 4 乗した 2 つの項で構成される多項式です。

したがって、四半期二項の計算に使用される式は次のとおりです。

(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

この式は、 ニュートンの一般二項式から導き出すことができます。実際、ニュートンの二項式を使用すると、任意の累乗の二項式を計算できるため、ニュートンの二項式を学習するのが最善です。前のリンクをクリックして、この式がどのようなものかを確認してください。

したがって、第 4 項の二項式は、第 1 項の 4 乗に、第 1 項の 3 乗の 4 倍と第 2 項の積、第 1 項と第 2 項の 2 乗の 6 の積、および第 2 項の 4 倍の積と等しくなります。最初の項に 3 に累乗した第 2 項を乗算し、さらに 4 に累乗した第 2 項を加えます。

この式は二項和 (その 2 つの要素が正) に対応しますが、二項減算の 4 乗の式では、2 番目と 4 番目の積の符号が負になります。

(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4

4年生の仲間の例

このタイプの二項式の公式を考慮して、二項式を 4 番目まで解く例をいくつか見ていきます。まず正の二項式を計算し、次に負の二項式を解きます。

例1

  • 次の二項式の 4 乗を計算します。

(x+2)^4

二項和の 4 乗の公式は次のとおりです。

(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4

したがって、演習の二項式を計算するには、二項式の 2 つの量を式に代入するだけです。

(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4

そして最後に演算を解決します。

\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}

例 2

  • 次の二項式の 4 乗を求めます。

(x-3)^4

差二項を 4 乗した場合の増強公式は次のとおりです。

(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4

したがって、問題の二項式を決定するには、式内の変数を二項式の値に置き換えるだけです。

(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4

そして最後に、結果として得られる演算を解決します。

\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}

4番目の二項式のデモンストレーション

4 乗した二項式の概念を調べるために、いくつかの方法でその式を示します。

4 にレイズされた任意のペアから:

(a+b)^4

二項式の 4 番目の代数表現は、素因数に展開することで因数分解できます。

(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)

したがって、 多項式の各積を解くことにより、次の 4 乗した二項式の公式に到達します。

\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}

一方、4 番目の二項式の公式は、 立方体に対する二項式の公式を使用して検証することもできます。

\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}

同様に、著名な製品 (または著名なアイデンティティ) を通じて証拠を得ることができます。たとえば、 和の二乗の注目すべき積の公式を使用すると、次のようになります。

\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}

それぞれ、 減算の二乗の注目すべき恒等式は、二項減算の式を裏付けるために使用されます。

\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}

4年生のペアの練習問題を解いた

次の二項式の 4 乗を解きます。

\text{A)} \ (x+1)^4

\text{B)} \ (2x+3)^4

\text{C)} \ (x-4)^4

\text{D)} \ (x^2+y)^4

\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}

\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}

\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}

\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}

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