合計と差の積 (顕著な同一性)

このページでは、和と差の積の公式を見つけることができます。さらに、この注目すべきタイプのアイデンティティの公式の適用例を見ることができ、段階的に解決される演習で練習することもできます。

和と差の積は何ですか?

数学では、和と差の積の概念は、 注目すべき等式の 1 つを指し、注目すべき恒等式または注目すべき積とも呼ばれます。

より正確には、和と差の積の式は(a+b)・(ab)の形式になります。ここで、(a+b) は 2 つの異なる項の和に対応し、(ab) は差です。これらの同じ 2 つの用語の。

和と差の積の公式

和と差の積の数学的定義がわかったので、この注目すべき種類の恒等式を解くためにどのような公式が使用されるかを見てみましょう。

したがって、 2 つの項の合計と差の積は、これらの項の 2 乗の差に等しくなります。言い換えれば、2 つの異なる項の合計にこれらの同じ 2 つの項の減算を乗算することは、2 つの項をそれぞれ 2 乗して減算することと同じです。

これは、 二乗の差を和と差の積に因数分解できることを意味します。複雑に見えるかもしれませんが、リンク先のページでは、このタイプの多項式を 2 つの簡単な手順で因数分解できるトリックが説明されています。クリックしてその方法を確認してください。

和と差の積の例

和と差の積の公式が何であるかを理解したら、次に、この注目すべきタイプの等式がどのように解かれるかをよりよく理解できるように、いくつかの解例を見ていきます。

例1

式を適用して、2 つの異なる項の差による合計の次の積を計算します。

$(x+2)\cdot (x-2)$

合計と差の積の式は次のとおりです。

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

したがって、最初に行う必要があるのは、パラメーター値を特定することです。

$a$

そして

$b$

式の。この場合

$a$

変数に対応する

$x$

そして

$b$

番号2に相当します。

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

これで、パラメータがどのような値を取るのかが分かりました

$a$

そして

$b,$

合計と差の積の公式を適用できます。

ご覧のとおり、和と差の積は常に負の項になります。ただし、これを減算の 2 乗の顕著な同一性と混同しないでください。疑問がある場合は、 「差の二乗の公式」を参照することをお勧めします。この公式では、これら 2 つの注目すべきアイデンティティの違いもわかります。

例 2

この公式を使用して、2 つの二項式の差による合計の次の積を求めます。

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

合計と差の積の式は次のとおりです。

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

したがって、この場合、

$a=3x$

そして

$b=5$

。したがって、差による合計の公式を適用すると、次の代数式が得られます。

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

例 3

次の式を使用して、2 つの単項式の差と合計の積を解きます。

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

乗算には可換性があるため、最初に 2 つの量の差を乗算し、次に 2 つの量の和を乗算することは、同じ括弧を逆に乗算することと同じです。

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

したがって、この場合、積は逆になります。つまり、加算が減算になる前ですが、結果は次の式と同じままです。

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

したがって、この問題では

$a=4x$

そして

$b=2y$

。そして、それぞれの未知の値を特定したら、式を使用して注目すべき製品を計算できます。

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

差分による和の計算式のデモンストレーション

今勉強した和と差の公式は簡単に証明できます。

任意の 2 つの項の減算による合計の積から開始すると、次のようになります。

$(a+b)\cdot (a-b)$

分配プロパティを使用して、最初のかっこと 2 番目のかっこを単純に乗算します。

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

そして、類似した用語をグループ化すると、次の式に到達します。

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

したがって、注目すべき和と差の積の式は次のように導出されます。

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

和と差の積の演習問題を解決しました

以下に、練習できるように、段階的に解決される差分加算の演習をいくつか用意しました。演習は難易度の低いものから順に並べられているため、1 から始めて 2 を続け、最後に最も難しい 3 を行うことをお勧めします。

⬇⬇また、ご質問があればコメント欄に残していただけることをお忘れなく！⬇⬇

演習 1

次の和と差の積を解きます。

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

解決策を参照

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

演習 2

次の乗算を二乗の差として表します。

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

解決策を参照

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

演習 3

次の注目すべきアイデンティティを解決します。

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

解決策を参照

最初の注目すべき等式を解くには、平方根は以下を簡略化することを覚えておく必要があります。

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

差による 2 番目の合計の 2 つの単項式には分数係数があるため、分数の性質を使用してこの演習を解く必要があります。

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

最後に、最後の注目すべき等式は、その中に別の注目すべき積 (和の二乗) が含まれているため、少し特殊です。

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

和と差の積（顕著な同一性）

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例1

例 2

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差分による和の計算式のデモンストレーション

和と差の積の演習問題を解決しました

演習 1

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