双曲線余弦の導関数

この記事では、関数の双曲線余弦を導出する方法を説明します。さらに、双曲線余弦導関数の例を示し、最後にこのタイプの三角関数導関数の公式を示します。

双曲線余弦から導出される式

x の双曲線余弦の導関数は、x の双曲線正弦です。

$f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)$

したがって、関数の双曲線余弦の導関数は、関数の双曲線正弦とその関数の導関数の積に等しくなります。

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

2 番目の式は最初の式と同じですが、唯一の違いは、2 番目では連鎖ルールが適用されることです。したがって、最初の式は x の双曲線余弦を導出するためにのみ使用できますが、2 番目の式はあらゆるタイプの関数の双曲線余弦を導出するために使用できます。

ご覧のとおり、双曲線コサインの微分の公式はコサインの微分の公式とは異なりますが、いくつかの類似点があります。

双曲線余弦の導関数の公式が与えられた場合、以下でこのタイプの三角関数の導関数のいくつかの例を解きます。質問があればコメントで質問できることを忘れないでください。

$f(x)=\text{cosh}(2x)$

この例では、双曲線余弦の引数に x とは異なる関数が含まれているため、連鎖律による双曲線余弦の導関数の公式を使用する必要があります。

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

2x の導関数は 2 であるため、2x の双曲線余弦の導関数は、2x に 2 を掛けた双曲線正弦になります。

$f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)$

$f(x)=\text{cosh}(x^2)$

上で見たように、双曲線余弦関数の導関数の規則は次のとおりです。

$f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'$

したがって、一方では 2x を与える二次関数 x ²を導出し、次に関数全体の導関数を計算します。

$f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x$

最後に、双曲線余弦がどこから来たのかを理解できるように、双曲線余弦から導出される式を示します。双曲線余弦の式から始めると、次のようになります。

$\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}$

式の両側から次のように推測します。

$\displaystyle\bigl(\text{cosh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'$

右側には割り算があるので、商の導関数の公式を適用して導関数を求めます。

$\displaystyle\text{cosh}'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

よく見ると、得られた式は双曲線正弦の式に対応しています。これは、次の等式が等価であることを意味します。

$\displaystyle\text{cosh}'(x)=\text{senh}(x)$

そして、双曲線余弦の導関数の法則に到達し、それが証明されました。