2点を通る直線の方程式（公式）

7月 10, 2023

ここでは、2 点を通る直線の方程式を素早く求める公式を紹介します。さらに、2 点によって決まる直線の方程式の例題を見て、解いた演習を行うことができます。

2点を通る直線の方程式の公式

典型的な直線方程式の問題は、指定された 2 つの点によって決まる直線の方程式を計算することです。この種の問題を解決するにはいくつかの方法がありますが、上記の直線の方程式を直接迅速かつ簡単に見つけることができる式を次に示します。

直線上にある 2 つの点を考えてみましょう。

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

2 点から直線の方程式を求める公式は次のとおりです。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

2 つの点が与えられた直線の方程式の公式は、直線の点と傾きの方程式から導き出されます。

$y-y_1= m (x-x_1)$

直線の傾きは次の式で計算できます。

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

2 つの点の座標が与えられると、方程式の式は次のようになります。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

したがって、直線の方程式を決定するには、直線が通過する 2 つの点を知る必要があるだけです。

2 つの点が与えられた直線の方程式を求める方法の例

上の 2 点で直線の方程式の公式がどのようなものになるかを確認したら、今度は直線の方程式の典型的な演習がどのように解かれるかを見てみましょう。

次の2点を通る直線の方程式は何ですか?

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

直線上にある 2 つの点がすでにわかっているため、式を直接使用して方程式を計算します。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

次に、点の座標を式に代入します。

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

そして最後に、線の傾きを計算します。

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

したがって、これら 2 点を通る直線の方程式は次のようになります。

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

このステートメントではそれ以外のことは示されていないため、たとえ端数が残っていたとしても、直線の方程式をさらに単純化する必要はありません。

2点を通る直線の方程式の問題を解きました

演習 1

次の 2 点を通る直線の方程式を求めます。

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

解決策を参照

直線上の 2 つの点がすでにわかっているので、直線の方程式の公式を指定された 2 つの点に直接適用します。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

次に、点のデカルト座標を式に代入します。

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

そして最後に、線の傾きを計算します。

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

したがって、これら 2 点を通る直線の方程式は次のようになります。

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

演習 2

次の 2 点を通る直線の方程式を求めます。

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

解決策を参照

直線に属する 2 つの点がすでにわかっているため、2 点を含む既知の直線の方程式の公式を直接使用します。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

次に、点の座標を式に代入します。

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

そして最後に、次の操作を実行します。

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

したがって、これら 2 点を通る直線の方程式は次のようになります。

$\bm{y= -x-2}$

演習 3

計算を行わずに、次の線上にある点を決定します。

$y-2= 4(x+1)$

解決策を参照

直線上の点は、2 点を通る直線の方程式の式から推定できます。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

点の Y 座標は変数の前の項になります。

$y$

符号が変更され、点の X 座標は負の括弧内の数値になります。

$\bm{P(-1,2)}$

演習 4

次の 2 点によって定義される線上の 3 番目の点を見つけます。

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

解決策を参照

まず、次の公式を使用して直線の方程式を見つける必要があります。

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

そして、2 つの点を通る直線の方程式が見つかったら、変数の 1 つに任意の値を与える 3 番目の点を計算します。たとえば、

$x=0:$

$y-1= 2(x-4) \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ y-1= 2(0-4)$

$y-1=2\cdot (-4)$

$y-1=-8$

$y=-8+1$

$y=-7$

したがって、ラインに属する別の点の座標は次のようになります。

$\bm{P(0,-7)}$

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