三項二乗 - マソリティ

このページでは三項式の二乗（公式）の解き方を解説します。さらに、いくつかの例を確認し、二乗三項式を段階的に解決する演習で練習することができます。

二乗三項式の公式

論理的に、三項二乗公式を理解するには、まず三項とは何かを知る必要があります。説明を続ける前に確認したい場合に備えて、このリンクを残しておきます。

三項式の 2 乗は、第 1 項の 2 乗、第 2 項の 2 乗、第 3 項の 2 乗、第 1 項の 2 倍と第 2 項の積、第 1 項の 2 倍と第 3 項の積、そして2番目は3番目です。

三項式の 2 乗が非常に重要なのは、それが注目すべき積 (または注目すべき恒等) であるためです。つまり、この演算をすばやく計算できる数式が存在します。次のリンクをクリックして、 注目すべき製品の配合をすべて確認してください。

二乗三項式の例

三項式の二乗の公式が何であるかを理解したら、三項式の二乗を計算するいくつかの例を見てみましょう。

例1

次の二乗三項式の累乗を計算します。

$\left(x^2+x+3\right)^2$

三項式の二乗の公式は次のとおりです。

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

したがって、最初にパラメータ値を特定する必要があります。

$a,b$

そして

$c$

式の。この演習では

$a$

東

$x^2,$

係数

$b$

に対応する

$x,$

そして

$c$

は独立項 3 です。

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

すでに値がわかっている場合は、これらの値を式に代入して計算を行うだけです。

一方、二乗三項式は完全二乗三項式と同じではないことに注意してください。多くの人がこれら 2 つの概念を混同しているため、これはよくある間違いです。これら 2 つのタイプの三項式の違いについては、この段落のリンクで確認できます。

例 2

三項式の次の二乗を求めます。

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

この多項式の累乗を決定するには、3 項式の 2 乗の公式を適用する必要があります。

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

この問題では、

$a$

これは以下と同等です

$x^2,$

$b$

負の単項式に対応します

$-2x,$

そして

$c$

4番目です:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

そこで、見つかった値を式に代入し、結果の演算を解決します。

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

負の基数の偶数のべき乗は正の項を与えることに注意してください。

$(-2x)^2$

に等しい

$4x^2.$

三項式の 2 乗がどのように計算されるかを見てきました。おそらく、2 つの項の差による合計の積を解く方法にも興味があるでしょう。実際、彼は注目すべき (最も重要な) アイデンティティのトップ 3 に入っています。リンク先のページで、その公式とその適用方法を確認できます。

三項式の二乗の公式のデモンストレーション

三項式の二乗の概念を理解するために、今勉強した公式を導き出します。

任意の 3 項式を 2 まで累乗すると、次のようになります。

$(a+b+c)^2$

上記の代数式は、括弧内の三項式を単独で乗算することと同じです。

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

次に、2 つの三項式を乗算してみましょう。

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

最後に、類似した用語をグループ化します。

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

このようにして、すでに式の表現に到達しているため、三項式の二乗の公式が示されています。

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

私たちのウェブサイトには、注目すべきアイデンティティのデモがさらに掲載されています。たとえば、 二乗和と二乗差の公式のデモを見ることができます。さらに、これらのリンクでは、それらの証明だけでなく、その式の幾何学的解釈、つまり、この種の注目すべき恒等式が幾何学的に何を意味するのかも見ることができます。

三項二乗問題を解決しました

次の平方三項式を解きます。

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

解決策を参照

すべての練習問題を解くには、次のような三項式の 2 乗の公式を使用する必要があります。

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

二乗三項式の公式

二乗三項式の例

例1

例 2

三項式の二乗の公式のデモンストレーション

三項二乗問題を解決しました

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