単項式の和

9月 17, 2023

このページでは、単項式とは何か、および単項式 (類似しているかどうか) を追加する方法について説明します。さらに、例を見て、単項式の追加に関する段階的な演習を解決して練習することができます。最後に、単項式の和のすべてのプロパティの説明も見つかります。

単項式はどのように追加されるのでしょうか?

2 つ以上の単項式は、それらが類似している場合、つまり 2 つの単項式が同一のリテラル部分 (同じ文字と同じ指数) を持つ場合にのみ加算できます。

次に、2 つの類似した単項式の合計は、同じリテラル部分で構成される別の単項式と、これら 2 つの単項式の係数の合計に等しくなります。

単項式を段階的に追加する

したがって、単項式と別の単項式を加算すると、和に含まれる 2 つの単項式と同様の単項式が常に得られます。

単項式の和の例

2 つ以上の単項式を追加する方法を明確に理解できるように、以下にいくつかの例を示します。

$2x^4+3x^4 = 5x^4$
$4y^2+y^2 = 5y^2$
$7x^3y+2x^3y = 9x^3y$
$2a^3b^2c^6+6a^3b^2c^6 = 8a^3b^2c^6$
$4x^3+2x^3+5x^3=6x^3+5x^3=11x^3$

つまり、追加できるのは類似した単項式のみです。この場合、係数のみが追加されますが、リテラル部分は変わりません。

単項式の合計を解く方法を理解したので、おそらく、単項式を使用した他のすべての演算 (減算、乗算、除算、べき乗など) を計算する方法を知りたいと思われるでしょう。そのため、このリンクを残しておきます。このリンクでは、単項式を使用してすべての演算を実行する方法を説明するだけでなく、 単項式を使用して組み合わせた演算を解決する方法も説明しています。

さまざまな単項式の合計

同様の単項式のみを追加できることを見てきました。したがって、類似していない単項式の合計を見つけた場合、つまり、異なる指数または異なる変数 (文字) を使用した場合、いかなる場合でも前記単項式の合計を実行することはできません。そして、この場合、指定された操作を (未解決の) ままにしておく必要があります。

類似した単項式と異なる単項式間の加算の次の例を見てください。

$2x^3+4x^7+5x^3$

上の代数式では、単項式

$4x^7$

他の用語とは文字通りの部分が異なるため、他の用語に追加することはできません。一方、他の 2 つの単項式は互いに加算できます。

$4x^7+2x^3+5x^3 = 4x^7+7x^3$

結論として、2 つ (またはそれ以上) の似ていない単項式を追加すると、それらをグループ化できないため、多項式が得られます。

ただし、単項式を乗算する場合は異なります。似た単項式と異なる単項式の両方を乗算できるためです。そのため、 単項式の乗算の方法と、単項式の乗算と加算の違いを説明するこのページをご覧になることをお勧めします。

単項式の和に関する演習を解決しました

練習できるように、以下に単項式の追加について段階的に解決するいくつかの演習を用意しています。

演習 1

次の単項式の合計を実行します。

$\text{A)} \ 5x^4+2x^4$

$\text{B)} \ 3xy+10xy$

$\text{C)} \ 6x^2y^3z+7x^2y^3z$

$\text{D)} \ 4a^2b^2c+8a^2bc$

解決策を見る

$\text{A)} \ 5x^4+2x^4 = \bm{7x^4}$

$\text{B)} \ 3xy+10xy = \bm{13xy}$

$\text{C)} \ 6x^2y^3z+7x^2y^3z=\bm{13x^2y^3z}$

$\text{D)} \ 4a^2b^2c+8a^2bc$

最後の単項演算は、類似していない (リテラル部分が異なる) ため実行できません。

演習 2

次の単項式の和を解きます。

$\text{A)} \ 2x^2+5x^2+x^2$

$\text{B)} \ 4ab+6ab+3ab+5ab$

$\text{C)} \ dgp+4dgp+2dgp+9dgp$

$\text{D)} \ 6a^2b +5a^2b +8a^2b+4a^2b+2a^2b$

解決策を見る

$\text{A)} \ 2x^2+5x^2+x^2 =\bm{8x^2}$

$\text{B)} \ 4ab+6ab+3ab+5ab =\bm{18ab}$

$\text{C)} \ dgp+4dgp+2dgp+9dgp =\bm{16dgp}$

$\text{D)} \ 6a^2b +5a^2b +8a^2b+4a^2b+2a^2b=\bm{25a^2b}$

演習 3

次の単項式の合計を可能な限り単純化します。

$\text{A)} \ 3x^6+4x^6+x^5+2x^6$

$\text{B)} \ 4xyz+5xz+7xyz+8xz$

$\text{C)} \ ab^2c +3a^2bc+5ab^2c+ab^2c$

$\text{D)} \ 6y^3+3y^3+2y^5+2y^4+y^5+4y^3$

解決策を見る

この演習をうまく行うには、単項式が互いに類似している場合にのみ加算できること、一方、単項式が類似していない場合は加算できないことを覚えておく必要があります。それで：

$\text{A)} \ 3x^6+4x^6+x^5+2x^6 = \bm{9x^6+x^5}$

$\text{B)} \ 4xyz+5xz+7xyz+8xz =\bm{11xyz+13xz}$

$\text{C)} \ ab^2c +3a^2bc+5ab^2c+ab^2c =\bm{7ab^2c+3a^2bc}$

$\text{D)} \ 6y^3+3y^3+2y^5+2y^4+y^5+4y^3= \bm{3y^5+2y^4+13y^3}$

単項式の和の性質

単項式の和には次の特徴があります。

結合プロパティ: 3 つ以上の類似した単項式が追加される場合、次の等式が常に尊重されます。

$(4x^3+5x^3)+2x^3 = 4x^3+(5x^3+2x^3) = 11x^3$

可換性の性質: 単項式が類似しているかどうかに関係なく、加数の順序は加算の結果を変更しません。

$2x^5+4x^5=4x^5+2x^5 = 6x^5$

中立要素: 明らかに、単項式と数値ゼロの他の単項式を加算することは、単項式自体と同等です。

$8x^2+0=8x^2$

反対の要素: 単項式とその反対の単項式を加算した結果は常に 0 になります。

$6x^4+(-6x^4)=0$

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