モニック多項式

このページでは、モニック多項式とは何かと、モニック多項式の例を示します。また、このタイプの多項式のプロパティと、多項式がどのようにモニックになるかについても確認できます。

単位多項式とは何ですか?

単位多項式の定義は次のとおりです。

数学における単位多項式は、変数が 1 つで、先頭の係数が 1 に等しい多項式です。

モニック多項式は、ユニタリ多項式またはノルム多項式とも呼ばれます。

たとえば、次の次数 2 の多項式は一変数多項式であり、傾きが 1 であるため、モニックです。

明らかに、単位多項式の概念を理解するには、多項式の傾きが何であるかを知る必要があります。これについてよくわからない場合は、 多項式のすべての部分が何であるかについての説明を参照することをお勧めします。さらに、多項式を構成する他の部分 (または要素) も確認できます。例と解決済みの練習問題が付いています。

モニック多項式の例

多項式がモニックであることが何を意味するかを理解したら、このタイプの多項式の例をいくつか見てみましょう。

2 次の単位多項式の例:

3 次の単位多項式の例:

4次の単位多項式の例:

多項式をモニックに変換する方法

モニック多項式の意味がわかったので、次は多項式をモニックに変換する方法、つまり多項式を「モニック化」する方法を見ていきます。このプロセスは、多項式の正規化とも呼ばれます。

そこで、演習を段階的に解決して、どのように行われるかを確認していきます。

多項式を正規化するには、多項式を構成するすべての要素を多項式の最高次項の係数で割る必要があります。この場合、最高次項の係数は 4 であるため、次のようになります。

次に、多項式の分数を単純化してみましょう。

このようにして、問題の多項式をモニック多項式に変換しました。

モニック多項式の性質

モニック多項式には次の特徴があります。

• モニック多項式と別のモニック多項式の積は常にモニック多項式を与えます。

これは、 多項式の乗算特性によるものです。リンク先のページでは、多項式の乗算方法が説明されているだけでなく、多項式の積のプロパティでなぜこれが起こるのかについても説明しています。

• 単位多項式が整数係数のみで構成されている場合、その単位多項式の根は整数になります。

多項式の根 (またはゼロ) は多項式を定義する数値であるため、非常に重要な概念です。それらが何であるか、またはそれらがどのように計算されるかわからない場合は、 多項式の根の解決済み演習のページにアクセスして、多項式の根が何で構成されているか、それらを見つける方法を説明しています。段階的に解決された演習で練習することもできます。

• 多変数多項式の係数は 1 ですが、複数の変数があるため、多項多項式とは正確にはみなされません。