セグメントの中央の計算式

9月 16, 2023

このページでは、線分の中点の意味について説明します。さらに、公式を使用してセグメントの中央を見つける方法も学びます。セグメント中間点の例、演習、および解決済みの問題も表示されます。

セグメントの中点とは何ですか?

数学では、セグメントの中点は、セグメントの端点から同じ距離にある点です。したがって、中央はセグメントを 2 つの等しい部分に分割します。

セグメントの中央の定義

さらに、中点はセグメントの中心にあるため、セグメントの二等分線に属します。

一方、セグメントの中点は、2 つの幾何学的要素 (セグメントの 2 つの端) から等距離にある点でもあります。

セグメントの中点を計算するにはどうすればよいですか?

セグメントの極点のデカルト座標が与えられると、次のようになります。

$A(x_1,y_1) \qquad B(x_2,y_2)$

前記セグメントの中央の座標は、極点の座標の半分の合計に対応します。

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

これは、デカルト平面 (R2) のセグメントの中央の式です。しかし、明らかに、この式はデカルト空間 (R3) にも適用できます。必要なのは、Z 座標の半分の和を加算することだけです。

セグメントの中点の座標を計算する方法の例を見てみましょう。

次の点によって形成されるセグメントの中点を決定します。

$A(2,5) \qquad B(4,-1)$

セグメントの中央を見つけるには、次の式を適用するだけです。

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{2+4}{2} , \frac{5+(-1)}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{6}{2} , \frac{4}{2} \right)$

$\displaystyle \bm{M\left(3,2\right)}$

セグメントの途中で解く演習

演習 1

次の 2 点を端点とする線分の中点は何ですか?

$A(3,-2) \qquad B(5,8)$

解決策を見る

セグメントの中央を見つけるには、次の式を直接適用する必要があります。

$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{3+5}{2} , \frac{-2+8}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(\frac{8}{2} , \frac{6}{2} \right)$

$\displaystyle \bm{M\left(4,3\right)}$

演習 2

点 A で始まり、中点が M であるセグメントの終点の座標を見つけます。

$A(4,-1) \qquad M(-2,1)$

解決策を見る

この場合、セグメントの始点と中間の座標がわかります。したがって、既知の座標をセグメントの中点の式に代入します。

$\displaystyle \left(\frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right)=(x_m,y_m)$

$\displaystyle \left(\frac{4+x_2}{2} , \frac{-1+y_2}{2} \right)=(-2,1)$

次に、前の式からセグメントの終点の座標を求めます。

X座標

$\cfrac{4+x_2}{2} = -2$

$4+x_2 = -2 \cdot 2$

$4+x_2 = -4$

$x_2 = -4-4$

$x_2 = -8$

Y座標

$\cfrac{-1+y_2}{2} = 1$

$-1+y_2 = 1 \cdot 2$

$-1+y_2 = 2$

$y_2 = 2+1$

$y_2 = 3$

したがって、セグメントの最終端の座標は次のようになります。

$\bm{B(-8,3)}$

演習 3

次のような平行四辺形があるとします。

セグメント 4 の中央

M が平行四辺形の中心であり、点 A、B、C の座標は次のとおりであることがわかります。

$A(1,1) \quad B(5,1) \quad C(7,3)$

この情報から、中点の公式を使用して、点 D の座標を計算します。

解決策を見る

セグメントの中央の公式を使用して点 D の座標を見つけるには、まず点 M の座標を計算し、次に点 D の座標を計算する必要があります。

点 M はセグメント BC の中点であるため、その座標は次のようになります。

$\displaystyle M\left(\frac{5+7}{2} , \frac{1+3}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(6,2 \right)$

点 M がわかれば、点 D を見つけることができます。点 M は線分 AD の中央でもあるため、次のようになります。

$\displaystyle \left(\frac{1+x_2}{2} , \frac{1+y_2}{2} \right)=(6,2)$

点DのX座標

$\cfrac{1+x_2}{2} = 6$

$1+x_2 = 12$

$x_2 = 11$

点DのY座標

$\cfrac{1+y_2}{2} = 2$

$1+y_2 = 4$

$y_2 = 3$

したがって、点 D の座標は次のようになります。

$\bm{D(11,3}$

演習 4

線分 PQ の中点に垂直な直線の連続方程式を計算します。ポイントになる

$P(1,4)$

そして

$Q(5,-2).$

解決策を見る

直線の方程式を決定するには、その方向ベクトルと直線の一部である点が必要です。

この場合、線の方向ベクトルはベクトルに対して垂直になります。

$\vv{PQ}.$

したがって、ベクトルを計算します

$\vv{PQ}:$

$\vv{PQ} = Q - P = (5,-2)-(1,4) = (4,-6)$

そして、他のベクトルに垂直なベクトルを見つけるには、それらの間のベクトルの成分を変更し、成分の符号を変更します。したがって、次のようになります。

$\vv{PQ}_\perp =(6,4)$

これで線の方向ベクトルが得られたので、線に属する点が 1 つだけ必要になります。この場合、命令では、線がセグメントの中点を通過することが示されているため、次の式を使用して中点を計算します。

$\displaystyle M\left(\frac{1+5}{2} , \frac{4+(-2)}{2} \right)$

$\displaystyle M\left(3,1 \right)$

最後に、計算された点とベクトルから直線の連続方程式を構築します。

$\cfrac{x-3}{6}=\cfrac{y-1}{4}$

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