双曲アークセカントの微分

ここでは、関数の双曲線逆正割関数の導関数を計算する方法を説明します。さらに、双曲逆正割関数の導関数の解決例も表示されます。

双曲線逆正割微分公式

x の双曲線逆正割の導関数は、x の積で 1 の平方根を引いた値で割ったマイナス 1 に等しくなります。

$f(x)=\text{arcsech}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$

したがって、関数の双曲線アークセカントの微分値は、その関数の微分値を、関数の積と 1 の根から 2 乗関数を引いた値で割った値を引いたものになります。

$f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}$

つまり、双曲線逆正割関数の導関数の公式は次のとおりです。

両方の式は実際には同じ式に対応しますが、2 番目の式には連鎖規則が適用されます。実際、恒等関数 x を u に置き換えると、x の導関数は 1 であるため、最初の式が得られます。

双曲逆正割関数の導関数の例

双曲線アークセカントの導関数の公式が何であるかを確認した後、このタイプの逆三角関数導関数の 2 つの段階的な演習を解いていきます。したがって、関数の双曲線逆正割を導出する方法を正確に理解できます。

例1

この例では、2x 双曲線アークセカントの導関数が何であるかを決定します。

$f(x)=\text{arcsech}(2x)$

双曲逆正割引数には x 以外の関数があるため、それを導出するには連鎖規則の公式を使用する必要があります。

$f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}$

関数 2x は線形なので、導関数は 2 です。したがって、導関数を求めるには、単純に u に 2x を、u’ に 2 を式に代入します。

$f(x)=\text{arcsech}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-(2x)^2}}=\cfrac{-2}{2x\sqrt{1-4x^2}}$

例 2

この 2 番目の演習では、多項式関数の双曲線逆正割を導出します。

$f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x)$

双曲逆正割関数には引数に別の関数があるため、この演習の関数は複合的です。したがって、双曲線アークセカントの導関数公式を連鎖規則とともに使用して、その導出を行う必要があります。

$f(x)=\text{arcsech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{-u'}{u\sqrt{1-u^2}}$

したがって、分数の分子には引数の多項式関数の導関数を入れ、分母には多項式関数によって u を変更します。

$\begin{aligned}f(x)=\text{arcsech}(x^3-4x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black}f'(x)&=\cfrac{-(3x^2-4)}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\\[1.5ex] &=\cfrac{-3x^2+4}{(x^3-4x)\sqrt{1-(x^3-4x)^2}}\end{aligned}$

双曲逆正割関数の導関数

双曲線逆正割微分公式

双曲逆正割関数の導関数の例

例1

例 2

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双曲逆正割関数の導関数の例

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