コセカントアークの導関数

このページでは、逆正割の導関数の公式がどのようなものかがわかります。さらに、関数のアークコセカントの導関数の解答済み演習も表示されます。

逆正割微分公式

x の逆正割の導関数は、x と x の二乗根から 1 を引いた積の負の 1 になります。

$f(x)=\text{arccosec}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{1}{x\cdot \sqrt{x^2-1}}$

したがって、関数の逆正割の微分値は、その関数の微分値を関数で割った商に、その関数の平方根を掛けて 1 を引いたものに等しくなります。

$f(x)=\text{arccosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{u\cdot \sqrt{u^2-1}}$

実際、前の 2 つの式は同じですが、2 番目の式では連鎖規則が適用されます。実際、恒等関数 x を u に代入すると、x の導関数は 1 であるため、x の逆正割の導関数が得られます。

ご存知のとおり、逆余割は余割の逆三角関数ですが、その導関数はまったく異なります。この他のタイプの三角関数の公式は、次のリンクで確認できます。

➤参照: コセカントの導関数

コセカントアークの導関数の例

逆正割導関数の規則が何であるかを見て、次にこのタイプの導関数の 2 つの例を解きます。ただし、コセカントアークの導出方法についてまだ質問がある場合は、コメントで質問してください。

例1

この例では、二次関数 x ²の逆余割の微分がどのくらいになるかを確認します。

$f(x)=\text{arccosec}(x^2)$

x の 2 乗の逆正割の導関数を計算するには、上で見た式を適用します。

$f(x)=\text{arccosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{u\cdot \sqrt{u^2-1}}$

x の 2 乗の導関数は 2x であるため、複合関数の導関数は次のようになります。

$f(x)=\text{arccosec}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{2x}{x^2\cdot \sqrt{\left(x^2\right)^2-1}}=-\cfrac{2x}{x^2\cdot \sqrt{x^4-1}}$

例 2

この 2 番目の例では、ポテンシャル関数の逆正割を導出します。

$f(x)=\text{arccosec}(2x^3+9x)$

関数全体の導関数を見つけるには、アークセカント導関数ルールを使用する必要があります。

$f(x)=\text{arccosec}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{u'}{u\cdot \sqrt{u^2-1}}$

したがって、分子に関数の引数の導関数を書き、分母にポテンシャル関数を書き直して、引数の 2 乗から 1 を引いた関数の平方根を掛けます。

$f(x)=\text{arccosec}(2x^3+9x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\cfrac{6x^2+9}{(2x^3+9x)\cdot \sqrt{\left(2x^3+9x\right)^2-1}}$

逆正割微分公式

コセカントアークの導関数の例

例1

例 2

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