双曲線逆正接の微分

ここでは、関数の双曲線逆正接を導出する方法を説明します。また、このタイプの三角関数導関数の解決例も確認でき、最後に双曲線逆正接の導関数の公式を示します。

双曲線逆正接の導関数の公式

x の双曲線逆正接の導関数は、1 の 1 から x の 2 乗を引いたものです。

$f(x)=\text{arctanh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{1-x^2}$

したがって、関数の双曲線逆正接の微分値は、その関数の微分値を 1 で割った商から、その関数の 2 乗を引いたものに等しくなります。

$f(x)=\text{arctanh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

実際、両方の式は同じですが、2 番目の式では連鎖規則が適用されます。たとえば、x を u に置き換えると、x の導関数が 1 であるため、正確に最初の式が得られます。

逆正接が正接の逆関数であるのと同様に、双曲線逆正接は双曲線正接の逆関数です。それでも、それらの導関数は大きく異なります。この三角関数の導関数はここで確認できます。

➤参照: 双曲線正接の導関数の公式

双曲線逆正接の導関数の例

例1

$f(x)=\text{arctanh}(2x)$

論理的には、双曲線逆正接の導関数の法則を適用する必要があります。

$f(x)=\text{arctanh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

2x の導関数は 2 なので、分数の分子に 2 を入れ、分母に 1 から 2x の 2 乗を引いたものを入れます。

$f(x)=\text{arctanh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{2}{1-(2x)^2}}=\cfrac{2}{1- 4x^2}$

例 2

$f(x)=\text{arctanh}(e^{3x})$

この関数の導関数を解くには、双曲線逆正接の導関数の公式を使用する必要があります。

$f(x)=\text{arctanh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{1-u^2}$

さらに、双曲線逆正接引数関数は複合関数であるため、連鎖規則も適用する必要があります。

$f(x)=\text{arctanh}(e^{3x}) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3\cdot e^{3x}}{1-\left(e^{3x}\right)^2}=\cfrac{3e^{3x}}{1-3^{6x}}$

双曲線逆正接の導関数の証明

この最後のセクションでは、双曲線逆正接の導関数の公式を示します。

$y=\text{arctanh}(x)$

双曲線逆正接は逆双曲線正接であるため、前の等式は別の方法で表現できます。

$x=\text{tanh}(y)$

次に、方程式の両辺を微分します。

$1=\cfrac{1}{\text{cosh}^2(y)}\cdot y'$

私たちはあなたをクリアします:

$y'=\text{cosh}^2(y)$

一方、双曲線余弦と双曲線正弦の二乗の差は 1 になることがわかっています。したがって、前の式を分数に変換できます。

$\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)=1$

$y'=\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{1}=\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)-\text{senh}^2(y)}$

分数のすべての項を双曲線余弦の二乗で割ります。

$y'=\cfrac{\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}}{\cfrac{\text{cosh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}-\cfrac{\text{senh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}}$

$y'=\cfrac{1}{1-\cfrac{\text{senh}^2(y)}{\text{cosh}^2(y)}}$

したがって、双曲線余弦間の双曲線正弦の商は双曲線正接に等しいので、次のようになります。

$\text{tanh}(x)=\cfrac{\text{senh}(x)}{\text{cosh}(x)}$

$y'=\cfrac{1}{1-\text{tanh}^2(y)}$

しかし、証明の最初で見たように、双曲線正接は変数 x と同等であるため、式を置き換えることができ、双曲線逆正接の導関数の式が得られます。

$y'=\cfrac{1}{1-x^2}$

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