指数関数の導関数

この記事では、指数関数を導出する方法を説明します。指数導関数 (底 a と底 e を使用) の公式と、指数関数の導関数の演習問題が見つかります。

指数関数の導関数の規則は、べき乗の底に依存します。これは、底が数値 (a) であるか数値 e であるかに応じて、関数の導出方法が異なるためです。そのため、以下ではそれぞれのケースを個別に見てから、指数関数の導出方法を完全に理解するために 2 つの公式を要約します。

底を a とする指数関数の導関数

底を a とする指数関数の導関数は、関数と、べき乗の底と指数の導関数の自然対数との積に等しくなります。

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

たとえば、次の指数関数の微分は次のようになります。

f(x)=5^{x^2+1} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=5^{x^2+1}\cdot \ln(5) \cdot 2x

底を e とした指数関数の導関数

底 e を使用した指数関数の導関数は、同じ関数の指数の導関数による積と等価です。

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

たとえば、数値 e を 4 乗した導関数は次のようになります。

f(x)=e^{4x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^{4x} \cdot 4=4e^{4x}

指数微分公式

これまで見てきたように、指数関数の導関数はその底に依存します。指数関数を導出するために使用される 2 つの公式は次のとおりです。

指数微分

e から x までの指数導関数

指数微分公式が何であるかを理解したら、興味深いケースなので、x における e の微分のケースを分析します。

関数 e から x への導関数は、常に関数自体になります。つまり、関数 e xを何度微分しても、常に同じ関数が得られます。

\begin{array}{c} f(x)=e^x \\[2ex] f'(x)=e^x\\[2ex] f''(x)=e^x\\[2ex] f'''(x)=e^x\\ \vdots\\ f^n(x)=e^x\end{array}

x に対してレイズされる関数 e のこの性質は、x の導関数が 1 であるという事実によるものです。したがって、導出するときは、常に関数自体に 1 を乗算し、その結果、常に関数 d’origin が得られます。

f(x)=e^x \quad\longrightarrow\quad f'(x)=e^x\cdot 1= e^x

指数関数の導関数の問題を解決しました

演習 1

次の指数関数を導出します。

f(x)=3^x

この関数は e 以外の数値に基づいているため、次の式を使用する必要があります。

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

したがって、底 3 の指数関数の導関数は次のようになります。

f(x)=3^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=3^x\cdot \ln(3) \cdot 1=3^x\cdot \ln(3)

演習 2

次の指数関数の導関数を計算します。

f(x)=7^{3x^2-4x}

この演習の関数は e 以外の数値に基づいているため、次の式を適用する必要があります。

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

したがって、関数の導関数は次のようになります。

f(x)=7^{3x^2-4x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^{3x^2-4x}\cdot \ln(7) \cdot (6x-4)

演習 3

底を e とする次の指数関数の導関数を求めます。

f(x)=e^{(5x^2-9x)^3}

この演習の関数の基数は数値 e であるため、次の式を使用できます。

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

そして、指数関数を導出すると次のようになります。

f'(x)=e^{(5x^2-9x)^3} \cdot 3(5x^2-9x)^2\cdot (10x-9)

この導関数を解くには連鎖律を使用する必要があることに注意してください。

演習 4

根を指数とする次の指数関数の導関数を求めます。

f(x)=9^{\sqrt{5x}}

➤参照: 根関数の導関数

指数には根次式がありますが、底 a から指数関数を導出するルールを使用する必要があります。

f(x)=a^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^u\cdot \ln(a) \cdot u'

したがって、複合指数関数の導関数は次のようになります。

f'(x)=9^{\sqrt{5x}}\cdot \ln(9) \cdot \cfrac{5}{2\sqrt{5x}}

演習 5

小数部の指数を使用して底 e から次の指数関数を導出します。

f(x)=e^{\frac{x^2}{5-3x}}

➤参照:関数の商の導関数

べき乗の底は数値 e なので、次のルールを使用して関数を分割します。

f(x)=e^u \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^u\cdot u'

したがって、指数関数の導関数は次のようになります。

\begin{aligned}f'(x)&=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{2x\cdot (5-3x)-x^2\cdot (-3)}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-6x^2+3x^2}{(5-3x)^2}\\[3ex] &=e^{\frac{x^2}{5-3x}} \cdot \cfrac{10x-3x^2}{(5-3x)^2}\end{aligned}

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