一次関数の導関数

7月 3, 2023

この記事では、一次関数の導関数がどのくらいになるかを示します。さらに、線形関数の微分の例をいくつか解き、このタイプの微分の公式を示します。一次関数の導関数に関する解決済みの演習も見つかります。

一次関数の導関数は何ですか?

線形関数の導関数は 1 次項の係数です。つまり、線形関数の導関数f(x)=Ax+BはAに等しくなります。

$f(x)=Ax+B\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=A$

定数の導関数はゼロであるため、独立項は導関数から削除されます。そして、一方、一次項の導関数は、当該項の係数である。したがって、これら 2 種類の関数の和の微分値が線形項の係数となります。

一次関数の導関数

幾何学的には、線形関数の導関数はその関数の傾きです。上のグラフでは、線形関数とその微分関数が表されていることがわかります。

一次関数の導関数の例

線形関数の導関数の定義を考慮して、概念を理解するために線形関数の例をいくつか計算します。

$\begin{array}{c}f(x)=3x+1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x-4\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

関数に独立した項がない場合、つまり 1 次の項が 1 つしかない場合、線形関数の導関数は常に変数 x に付随する数値であることに注意してください。例えば：

$f(x)=8x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=8$

したがって、線形関数の導関数は独立変数のない関数、つまり単純な数値になります。

一次関数の導関数の証明

次に、一次関数の導関数の公式を示します。

f を任意の線形関数とします。

$f(x)=Ax+B$

ある点における関数の導関数を計算する式は次のとおりです。

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

したがって、線形関数の前の制限を計算すると、次のようになります。

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\frac{A(a+h)+B-(A\cdot a+B)}{h}$

括弧を解決します。

$\displaystyle f'(a)=\frac{Aa+Ah+B-Aa-B}{h}$

分子で演算します。

$\displaystyle f'(a)=\frac{Ah}{h}$

最後に、分数を単純化します。

$\displaystyle f'(a)=A$

結論として、一次関数の導関数は、どの点でも 1 次項の係数に等しくなります。したがって、一次関数の導関数の公式が導出されます。

一次関数の導関数の問題を解決しました

次の線形関数の導関数を計算します。

$\text{A)}\ f(x)=2x-25$

$\text{B)}\ f(x)=x+3$

$\text{C)}\ f(x)=-9x-1$

$\text{D)}\ f(x)=\cfrac{1}{2}x+7$

$\text{E)}\ f(x)=5x$

$\text{F)}\ f(x)=\sqrt{7}x+\frac{3}{4}$

解決策を参照

一次関数を導出するには、関数から定数項と変数を単純に削除して、一次項の係数のみを残します。まだ：

$\text{A)}\ f'(x)=2$

$\text{B)}\ f'(x)=1$

$\text{C)}\ f'(x)=-9$

$\text{D)}\ f'(x)=\cfrac{1}{2}$

$\text{E)}\ f'(x)=5$

$\text{F)}\ f'(x)=\sqrt{7}$

関数の係数は分数または根ですが、一次関数の導出も同様に行われます。

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