コサイン関数 - マソリティ

このページでは、コサイン関数とは何か、その公式、グラフでの表現方法、関数の特性、振幅、周期など、コサイン関数に関するすべてがわかります。さらに、コサイン関数のさまざまな例を見て、概念を完全に理解することができます。コサイン定理やコサイン関数が他の三角比と持つ関係についても説明します。

コサイン関数の公式

角度 α のコサイン関数は三角関数であり、その式は隣接する (または隣接する) 脚と直角三角形 (直角の三角形) の斜辺との比として定義されます。

このタイプの数学関数は、コサイン、コサイン、またはコサイン関数とも呼ばれます。

コサイン関数は、角度のサインおよびタンジェントと並んで、最もよく知られている 3 つの三角比の 1 つです。

コサイン関数の特性値

一部の角度は頻繁に繰り返されるため、次の角度でのコサイン関数の値を知っておくと便利です。

したがって、コサイン関数の符号は、角度が位置する象限によって異なります。角度が第 1 象限または第 4 象限にある場合、コサインは正になります。一方、角度が第 2 象限または第 3 象限にある場合は、コサインは正になります。、コサインは負になります。

コサイン関数のグラフ表示

前のセクションで見た値の表を使用して、コサイン関数をグラフ化できます。コサイン関数をグラフ化すると、次のことが得られます。

グラフからわかるように、コサイン関数の画像の値は常に +1 と -1 の間にあります。つまり、上部は +1 で制限され、下部は -1 で制限されます。さらに、値は 360 度 (2π ラジアン) ごとに繰り返されるため、周期が 360 度の周期関数になります。

一方、このグラフでは、コサイン関数が偶数であることが完全に理解できます。これは、コサイン関数の反対側の要素が同じイメージを持っているためです。つまり、コンピューター軸 (Y 軸) に対して対称的です。たとえば、90°のコサインは 0、-90°のコサインは 0 です。

コサイン関数の性質

コサイン関数には次の特徴があります。

グラフが示すように、この関数は独立変数 x の任意の値に対して存在するため、コサイン関数の定義域はすべて実数です。

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

コサイン関数のパスまたは範囲は、負の 1 から正の 1 までです (両方を含みます)。

$\text{Im } f= [-1,1]$

これは連続関数であり、周期性 2π の偶数です。

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

このタイプの三角関数には、点 (0,1) に OY 軸との交点が 1 つあります。

$(0,1)$

代わりに、平均円周率の奇数倍の座標で横座標 (X 軸) を定期的に切ります。

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

コサイン関数の最大値は、次の場合に発生します。

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

逆に、コサイン関数の最小値は次のときに発生します。

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

コサイン関数の導関数は、符号を変更したサインです。

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

最後に、コサイン関数の積分はサインです。

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

コサイン関数の周期と振幅

彼のグラフで見たように、コサイン関数は周期関数です。つまり、その値はある周波数で繰り返されます。さらに、振動する最大値と最小値は振幅によって異なります。したがって、コサイン関数を決定する 2 つの重要な特性は、その周期と振幅です。

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

コサイン関数の周期は、グラフが繰り返される 2 点間の距離であり、次の式で計算されます。

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

コサイン関数の大きさは、コサイン項の前の係数に相当します。

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

以下に、周期または振幅を変更した場合の影響を示すグラフを示します。

緑色で示された関数では、振幅を 2 倍にすることにより、関数が +1 から -1 ではなく +2 から -2 になることがわかります。一方、赤で示した関数では、周期が半分になっているため、「正準」コサイン関数の 2 倍の速度になっていることがわかります。

余弦定理

コサインの公式は通常直角三角形で使用されますが、あらゆるタイプの三角形に適用できる定理、コサインまたはコサイン定理もあります。

コサイン定理は、三角形の辺と角度を次のように関連付けます。

$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c\cdot \text{cos }\alpha$

$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c\cdot \text{cos }\beta$

$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b\cdot \text{cos }\gamma$

コサイン関数と他の三角比の関係

次に、三角法で最も重要な三角比とのコサイン関係がわかります。

乳房との関係

サイン関数のグラフはコサイン曲線と等価ですが、シフトされています。
$\displaystyle \frac{\pi}{2}$

したがって、右側では、2 つの関数を次の式でリンクできます。

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \text{sen}\left(\alpha + \frac{\pi}{2} \right)$

サインとコサインを三角関数の基本恒等式に関連付けることもできます。

$\displaystyle \text{sen}^2\alpha + \text{cos}^2\alpha=1$

接線との関係

証明するのは複雑ですが、コサインはタンジェントに従ってのみ表現できます。

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \pm \cfrac{1}{\sqrt{1+\text{tg}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$

セカントとの関係

コサインとセカントは乗法逆数です。

$\displaystyle \text{cos }\alpha = \cfrac{1}{\text{sec }\alpha}$

コセカントとの関係

コサインはコセカントのみに依存するように解くことができます。

$\displaystyle \text{cos }\alpha =\pm \cfrac{\sqrt{\text{csc}^2\alpha -1 } }{\text{csc }\alpha}$

コタンジェントとの関係

角度のコサインとコタンジェントは次の方程式で関係付けられます。

$\displaystyle \text{cos }\alpha =\pm \cfrac{\text{cot }\alpha}{\sqrt{1+\text{cot}^2\alpha \vphantom{\bigl( }}}$