線形および二次補間

このページでは、関数を補間することが何を意味するのかを学びます。具体的には、線形補間と二次補間について説明する。さらに、複数の例が表示されるので、関数がどのように補間されるかについて疑問を抱く必要はありません。

関数補間とは何ですか?

補間の定義は次のとおりです。

数学における補間は、端点がわかっている区間上の点で関数が取る値を近似するために使用される手順です。

内挿と外挿の違いは何ですか?

内挿と外挿は、どちらも 2 つの既知の点からある点における関数の値を推定することを含むため、非常によく似た意味を持ちます。

ただし、補間は、これら 2 つの既知の点によって形成される間隔内に位置する点の近似を行うことから構成されます。代わりに、外挿するとは、これら 2 つの既知の点が構成される間隔の外側の点における関数の値を推定することを意味します。

上のグラフからわかるように、既知の点は (2,3) と (6,5) です。この場合、既知の点の間にあるため x=4 に内挿したいのですが、一方で、既知の間隔の外側にあるため x=8 に外挿したいと考えています。

外挿では関数が同様のパスをたどると仮定するため、内挿値は外挿値よりもはるかに信頼性が高いことは明らかです。ただし、関数の傾きが既知の区間の範囲外で変化し、推定が誤る可能性があります。

線形補間

線形補間は、ニュートン多項式補間の特殊なケースです。この場合、一次多項式、つまり線形関数またはアフィン関数を使用して、ある点での関数の値を推測します。

既知の 2 点を考えると、

$P_1(x_1,y_1)$

そして

$P_2(x_2,y_2)$

、線形補間を実行するための式は次のとおりです。

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

金

$x$

そして

$y$

は補間点の座標です。

この式が直線の点と傾きの方程式に対応していることを確認できます。

線形補間の例

次に、線形補間の概念を理解するための例として問題を見ていきます。

工場では4時間で2個、8時間で10個が生産されます。生産されるアイテムの数が労働時間と直線関係にある場合、5 時間でいくつのアイテムが生産されるでしょうか?

まず、労働時間と生産されるアイテムを関連付ける一次関数を定義する必要があります。この場合、X は労働時間、Y は製造された品目になります。なぜなら、労働時間に応じて生産されるアイテムの量は増減するからです。言い換えれば、生産は時間に依存しており、その逆ではないからです。

このステートメントから、関数が点 (4,2) と (8,10) を通過することがわかります。したがって、次の点で補間する公式を適用するだけで十分です。

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

点の値を方程式に代入します。

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

そして、次の操作を実行します。

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

したがって、5 時間で4 つのアイテムが生成されます。

二次補間

二次補間では、1 次の多項式の代わりに 2 次の多項式を使用して補間します。したがって、この場合は2 次関数または放物線関数が使用されます。

$y = ax^2+bx+c$

一般に、2 次補間は 1 次補間よりも次数が高いため、精度が高くなります。逆に、補間を実行するにはさらに 1 つの点が必要です。

数学者のラグランジュは、n 次の補間関数を求める公式を開発しました。 2 次の場合、ラグランジュ補間多項式は次のとおりです。

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

既知のポイントはどこですか

$P_1(x_1,y_1)$

、

$P_2(x_2,y_2)$

そして

$P_3(x_3,y_3)$

横軸の関数の値を見つけるために使用されます。

$x.$

ただし、実際には、一般にラグランジュ補間法は使用されず、3 つの観測点から 2 次関数を計算し、その関数内で補間される点を評価します。これがどのように行われるかを確認するための解決された演習を次に示します。

二次補間の例

点 (0,1)、(1,0)、(3,4) を通過する二次関数を決定し、次の値を補間します。
$x=-1.$

2 次関数は 2 次多項式であるため、補間関数は次のようになります。

$y = ax^2+bx+c$

したがって、係数を計算する必要があります。

$a$

、

$b$

そして

$c$

。これを行うには、既知の点の座標を関数に代入します。

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

ここで連立方程式を解きます。

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

私たちはすでにその価値を知っています

$c$

したがって、代入法を使用して系を解くことができます。未知のものを消去します。

$a$

2 番目の方程式を取得し、最後の方程式で見つかった式を代入します。

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$