三項式 - マソリティ

このページでは、三項式とは何かについて説明します。さらに、存在するさまざまなタイプの三項式と、三項式に関連するすべての式を確認できます。

三項式とは何ですか?

数学における三項式の定義は次のとおりです。

三項式は、3 つの単項式のみで構成される多項式です。言い換えれば、三項式は、プラス (+) またはマイナス (-) 記号で接続された 3 つの異なる項のみを含む代数式です。

trinomial という単語はギリシャ語に由来しており、2 つの語彙要素 ( triとnomos ) で構成されており、次の意味を持ちます。

sort : プレフィックスの意味 3.
nomos : 部分という意味です。

したがって、三項式の意味、つまり 3 つの部分からなる多項式 (または 3 つの単項式) を推測できます。

一方で、多くの場合、三項式を因数分解することが非常に便利であることを知っておく必要があります。また、多項式を因数分解するには、FOIL乗算法やルフィニの法則などいくつかの手順がありますが、3項式の場合は方程式を解く方が早く処理できます。この方法については、次数 2 の多項式を因数分解する方法で学習してください。

三項式の例

三項式の概念を理解するために、このタイプの多項式の例をいくつか見ていきます。

二次三項式の例:

$x^2-5x+6$

3 次三項式の例:

$x^3+4x^2+1$

4 次三項式の例:

$-3x^4+x^2-8x$

三項式とは何かを理解したところで、さまざまな種類と、数式を使用して三項式の演算を簡単に解く方法を見ていきます。

完全二乗三項式

完全二乗三項式(略してTCPとも呼ばれます) は、加算二項式または減算二項式のいずれかの二項式を二乗することによって得られる三項式です。

したがって、完全平方三項式は、2 つの完全平方 (その平方根は正確です) を含む多項式と、これら 2 つの平方の底の 2 倍の積であり、符号が正または負の別の項で構成されます。

一方、和の二乗と差の二乗は注目すべき恒等（または注目すべき積）であり、数学で広く使用されている 2 つの公式であることを考慮する必要があります。

例：

$x^2+6x+9$

この例は、代数式に 2 つの完全二乗が存在するため、完全二乗三項式です。

$x^2$

9 個のうち正しいのは次のとおりです。

$\sqrt{x^2}=x$

$\sqrt{9}=3$

そしてさらに、三項式の最後に残った項

$(6x)$

これは、前の 2 つの正方形の底を 2 で乗算することで得られます。

$2\cdot x \cdot 3 = 6x$

したがって、この演習で注目すべきアイデンティティは次のようになります。

$x^2+6x+9 =(x+3)^2$

よく見ると、今行ったことは完全二乗三項式の因数分解です。これは、三項式の因数分解が成功したためです。したがって、これらの公式は完全二乗三項式の因数分解に役立ちますが、他のタイプの三項式の因数分解に興味がある場合は、上記の「三項式とは何か(2 次の多項式を因数分解する方法)」セクションのリンクを確認することをお勧めします。。

二乗三項式

2 乗三項式の累乗を計算するために使用される式は次のとおりです。

3 項の 2 乗は、第 1 項の 2 乗、第 2 項の 2 乗、第 3 項の 2 乗、第 1 項の 2 倍、第 1 項の 2 倍、第 2 項の 2 倍に等しくなります。第3。

三項式の二乗を計算する例を見てみましょう。

例：

次の三項式の 2 乗を計算します。

$\left(x^2+x+3\right)^2$

三項式の二乗の公式は次のとおりです。

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

したがって、最初にパラメータ値を特定する必要があります

$a,b$

そして

$c$

式の。この演習では

$a$

東

$x^2,$

係数

$b$

に対応する

$x,$

そして

$c$

は独立項 3 です。

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

すでに値がわかっている場合は、これらの値を式に代入して計算を行うだけです。

三項三乗

3 乗三項式の累乗を求める公式は次のとおりです。

たとえば、次の三項式の 3 乗を計算したい場合:

$\left(x^2+5x-3\right)^3$

三項式の 3 乗の公式を使用する必要があります。

$(a+b+c)^3 = a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)$

したがって、問題の解決策は次のようになります。

$\begin{aligned}\left(x^2+5x-3\right)^3 & = \left(x^2\right)^3+(5x)^3+(-3)^3+3\left(x^2+5x\right)\left(x^2+(-3)\right)\bigl(5x+\left(-3\right)\bigr) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(x^4+5x^3-3x^2-15x\right)\bigl(5x-3\bigr)\\[2ex] & = x^6+125x^3-27+3\left(5x^5+22x^4-30x^3-66x^2+45x\right) \\[2ex] & = x^6+125x^3-27+15x^5+66x^4-90x^3-198x^2+135x \\[2ex] & = \bm{x^6+15x^5+66x^4+35x^3-198x^2+135x-27}\end{aligned}$

二次三項式

代数学では、1 つの変数の2 次三項式は、次のような有名な 2 次方程式の公式を使用して解くことができます。

$ax^2+bx+c=0$

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

次に、例として 2 次三項問題を解きます。

$x^2-2x-3=0$

実際には、これは 2 次三項式です。したがって、二次方程式の公式を適用する必要があります。

$x=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

次に、それぞれの未知の値を特定する必要があります。

$a$

は最高次単項式の係数であり、この場合は 1 に相当します。

$b$

は中間項の係数 -2 に対応し、最後に、

$c$

は -3 である独立項を表します。

$a=1 \qquad b=-2 \qquad c=-3$

そこで、そこにある値を代入して式を適用します。

$x=\cfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2\cdot 1}$

そして最後に、演算を計算します。

$\displaystyle x=\cfrac{+2 \pm \sqrt{4 +12}}{2} = \cfrac{2\pm \sqrt{16}}{2} = \cfrac{2 \pm 4}{2} = \begin{cases} \cfrac{2+4}{2}=3 \\[4ex] \cfrac{2-4}{2} = -1 \end{cases}$

したがって、二次方程式の解は次のようになります。

$x = 3 \qquad x=-1$