立方体の和 - マソリティ

このページでは、立方体の合計の公式と、立方体の合計がどのように因数分解されるかについて説明します。さらに、立方体の和に関するいくつかの例と解答済みの演習を見ることができます。

立方体の合計はいくらですか?

立方体の和は二項式 (単項式が 2 つだけある多項式) であり、その 2 つの項は正であり、さらに、それらの三次根は正確です。したがって、立方体の和の代数式はa ³ +b ³となります。

さらに、完全な立方体の合計は注目すべき積 (または注目すべき恒等) に対応します。これは、多くの計算を行わずにそれを直接解く公式があることを意味します。次に、それがどのように行われるかを見ていきます。

立方体の和の公式

立方体の和の数学的定義を理解したら、次は立方体の和の公式を見てみましょう。

したがって、2 つの 3 乗項の合計は、これら 2 つの項の合計に最初の項の 2 乗を乗じ、2 つの量の積を減算し、2 番目の項の 2 乗を加えたものに等しくなります。

したがって、完全立方体の和の公式を適用すると、多項式の式を 2 つの因数の積に変換するため、実際には多項式を因数分解していることになります。多項式の因数分解の意味がまだわからない場合は、続行する前に多項式の因数分解方法を確認することをお勧めします。

立方体の合計を因数分解する例

完全立方体の和の概念を理解するために、次の式を使用して立方体の和を因数分解する例をいくつか見ていきます。

例1

次の式を使用して、次の立方体の合計を因数分解します。

$x^3+8$

確かに、単項式の立方根なので、これは立方体の和になります。

$x^3$

は正確です (10 進数は表示されません)。数字の 8 も同様です。

$\sqrt[3]{x^3} = x$

$\sqrt[3]{8} = 2$

$x^3+8=x^3+2^3$

したがって、三次和の公式を適用して、三次式を二項式と三項式の積に変換できます。

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-x \cdot 2 + 2^2)$

そして最後に、乗算とべき乗を解くだけです。

$x^3 +2^3 = (x+2)(x^2-2x + 4)$

得られた式をよく見ると、立方体の和の公式のおかげで、多項式の根を簡単に見つけることができます。この場合、多項式の根の 1 つは次のようになります。

$x=-2.$

ただし、多項式のすべての根 (またはゼロ) を見つけるには、より複雑な手順に従う必要があります。その方法については、リンク先のページを参照してください。

例 2

完全立方体の和の公式を適用して、次の二項を因数分解します。

$8x^3+1$

この例の多項式も立方体の和で構成されます。なぜなら、単項式の立方根は両方とも

$8x^3$

独立項 1 からの式は正確です:

$\sqrt[3]{8x^3} = 2x$

$\sqrt[3]{1} = 1$

$8x^3+1 =(2x)^3+1^3$

したがって、完全立方体の和の公式を使用して式を簡略化できます。

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)\bigl((2x)^2-2x \cdot 1 + 1^2\bigr)$

最後に、結果の演算を計算するだけです。

$(2x)^3+1^3 = (2x+1)(4x^2-2x + 1\bigr)$

立方体の合計を求める方法を確認したので、次は立方体の差を因数分解する方法を知りたいかもしれません。なぜなら、立方体の差の公式は似ていますが、立方体の和と差を区別できる小さな変化があるからです。この重要な変更が何で構成されているか、および立方体の減算がどのように計算されるかを確認できるように、このリンクを残しておきます。

立方体の和の問題を解決しました

演習 1

次の立方体の加算を次の式で因数分解します。

$x^6+27x^3$

解決策を参照

多項式の 2 つの要素の立方根は正確であるため、この式は立方体の和に相当します。

$\sqrt[3]{x^6} = x^2$

$\sqrt[3]{27x^3} = 3x$

$x^6+27x^3=\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3$

したがって、完全立方体の和の公式を使用して、三次式を二項式と三項式の積に因数分解できます。

$a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( \left(x^2\right)^2-x^2 \cdot 3x + (3x)^2\right)$

これを使用してすべての演算を解決して、因数分解された多項式を見つけます。

$\bigl(x^2\bigr)^3+(3x)^3 = \left(x^2+3x\right)\left( x^4-3x^3 + 9x^2\right)$

演習 2

各積を立方体の合計として表現します。

$\text{A)} \ (x+5)(x^2-5x+25)$

$\text{B)} \ (2x+7)(4x^2-14x+49)$

$\text{C)} \ (8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4)$

解決策を参照

3 つの演習の式は立方体の和の公式を尊重しているため、多項式の乗算を解くだけで十分です。

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x^2-5x+25) = \\[2ex] = x^3-5x^2+25x+5x^2-25x+125 = \\[2ex] = x^3 +125\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+7)(4x^2-14x+49) = \\[2ex] = 8x^3-28x^2+98x+28x^2-98x+343 = \\[2ex] = 8x^3+343\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(8x+y^2)(64x^2-8xy^2+y^4) = \\[2ex] =512x^3-64x^2y^2+8xy^4+64x^2y^2-8xy^4+y^6= \\[2ex] = 512x^3+y^6\end{array}$

注目に値するアイデンティティに興味がある場合は、多くの人が忘れている (そして頻繁に使用されている) アイデンティティがあることを知ってください。ただし、 三項二乗と呼ばれる、この注目すべき恒等式の公式を覚えておくことが重要です。そのため、このリンクが何であるか、そしてこの公式がどのように適用されるかを確認できるリンクを残しておきます。

立方体の合計はいくらですか?

立方体の和の公式

立方体の合計を因数分解する例

例1

例 2

立方体の和の問題を解決しました

演習 1

演習 2

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