行列の固有値 (または固有値) と固有ベクトル (または固有ベクトル) -

このページでは、固有値と固有ベクトルとは何か、それぞれ固有値と固有ベクトルとも呼ばれるについて説明します。計算方法の例や、段階的に解決された練習問題も掲載されています。

固有値と固有ベクトルとは何ですか?

固有値と固有ベクトルの概念は理解するのが難しいですが、その定義は次のとおりです。

固有ベクトルまたは固有ベクトルは、線形マップの非ゼロベクトルであり、それによって変換されると、それらのスカラー倍数が生じます (方向は変わりません)。このスカラーは、固有値または固有値です。

$Av = \lambda v$

金

$A$

は線形マップの行列です。

$v$

は固有ベクトルであり、

$\lambda$

自分自身の価値観。

固有値は特性値とも呼ばれます。そして、ドイツ語のルート「eigen」を使用して固有値と固有ベクトルを指定する数学者さえいます。固有値には固有値、固有ベクトルには固有ベクトルです。

行列の固有値 (または固有値) と固有ベクトル (または固有ベクトル) を計算するにはどうすればよいですか?

行列の固有値と固有ベクトルを見つけるには、次の手順全体に従う必要があります。

行列の特性方程式は、次の行列式を解くことによって計算されます。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)$

ステップ 1 で取得した特性多項式の根を求めます。これらの根は行列の固有値です。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda$

各固有値の固有ベクトルが計算されます。これを行うには、次の連立方程式を固有値ごとに解きます。

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

これは行列の固有値と固有ベクトルを見つける方法ですが、ここでいくつかのヒントも提供します: 😉

ヒント: 固有値と固有ベクトルのプロパティを利用して、より簡単に計算できます。

✓行列のトレース (主対角の合計) は、すべての固有値の合計に等しくなります。

$\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i$

✓すべての固有値の積は行列の行列式に等しい。

$\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

✓行または列間に線形結合がある場合、行列の少なくとも 1 つの固有値が 0 に等しくなります。

この方法をよりよく理解するために、行列の固有ベクトルと固有値がどのように計算されるかの例を見てみましょう。

行列の固有値と固有ベクトルを計算する例:

次の行列の固有値と固有ベクトルを求めます。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}$

まず、行列の特性方程式を見つける必要があります。そして、そのためには、次の決定要因を解決する必要があります。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2$

ここで、特性多項式の根を計算します。したがって、得られた結果を 0 に等しくして、方程式を解きます。

$\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0$

$\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

方程式の解は行列の固有値です。

固有値を取得したら、固有ベクトルを計算します。これを行うには、固有値ごとに次のシステムを解く必要があります。

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

まず、固有値 1 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}$

これらの方程式から、次の部分空間が得られます。

$\displaystyle y=-5x$

固有ベクトル部分空間は固有空間とも呼ばれます。

次に、このクリーンスペースのベースを見つける必要があるため、たとえば変数に値 1 を与えます。

$x$

そして次の固有ベクトルを取得します。

$\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}$

最後に、固有値 1 に関連付けられた固有ベクトルが見つかったら、プロセスを繰り返して固有値 2 の固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0$

この場合、ベクトルの最初の成分のみが 0 でなければならないため、任意の値を与えることができます。

$y$

。ただし、簡単にするために 1 を入力することをお勧めします。

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

結論として、行列の固有値と固有ベクトルは次のとおりです。

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

行列の固有値と固有ベクトルを見つける方法を知ると、それらは何のためにあるのか疑問に思うかもしれません。そうですね、これらは行列の対角化に非常に便利であることがわかりました。実際、それが主な用途です。さらに詳しく知りたい場合は、リンクを使用して行列を対角化する方法を確認することをお勧めします。手順はステップごとに説明されており、例や解決済みの演習も含まれています。

固有値と固有ベクトルに関する解決済み演習 (固有値と固有ベクトル)

演習 1

次の 2 次正方行列の固有値と固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、主対角上の行列から λ を引いた行列式を計算します。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &1\\[1.1ex] 2&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-7\lambda +10$

次に、特性多項式の根を計算しましょう。

$\displaystyle \lambda^2-7\lambda +10=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases}$

固有値 2 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A- 2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

次に、固有値 5 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\[1.1ex] 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=2x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

したがって、行列 A の固有値と固有ベクトルは次のようになります。

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

演習 2

次の 2×2 正方行列の固有値と固有ベクトルを決定します。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、主対角線上の行列の行列式から λ を引いた値を計算して、特性方程式を取得します。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &1\\[1.1ex] 3&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda -3$

次に、特性多項式の根を計算しましょう。

$\displaystyle \lambda^2-2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}$

固有値 -1 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-(-1)I)v=0$

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 3x+1y = 0 \\[2ex] 3x+1y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=-3x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

次に、固有値 3 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\[1.1ex] 3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -1x+1y = 0 \\[2ex] 3x-3y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

したがって、行列 A の固有値と固有ベクトルは次のようになります。

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

演習 3

次の 3 次行列の固有値と固有ベクトルを決定します。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列 A からラムダを乗じた単位行列を引いた行列式を解き、特性方程式を取得する必要があります。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}$

この場合、行列式の最後の列には 2 つのゼロがあるため、これを利用して、この列を介して余因子 (または補数) によって行列式を計算します。

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}& = (2-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&2\\[1.1ex] 2&1-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3] \end{aligned}$

次に、特性多項式の根を計算する必要があります。括弧を乗算しない方がよいのは、3 次多項式が得られるからです。一方、2 つの因子を別々に解くと、固有値を取得するのが簡単になります。

$\displaystyle (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 2-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 2 \\[2ex] \lambda^2 -2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

固有値 2 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1&2&0\\[1.1ex] 2&-1&0\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\\[2ex] y=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=0 \\[2ex] x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

固有値 -1 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&2&0\\[1.1ex] 2&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+2y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\\[2ex] y+3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

固有値 3 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&0\\[1.1ex] 2&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] 2x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

したがって、行列 A の固有値と固有ベクトルは次のようになります。

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

演習 4

次の 3×3 正方行列の固有値と固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列の主対角線上の行列式から λ を引いたものを解き、特性方程式を取得します。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&3\\[1.1ex]-1&1-\lambda&1\\[1.1ex] 1&2&4-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-10\lambda$

特性多項式から共通因数を抽出し、各方程式から λ を求めます。

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2+7\lambda-10)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0\\[2ex] -\lambda^2+7\lambda-10=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases} \end{cases}$

固有値 0 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+y+3z= 0 \\[2ex] -x+y+z= 0\\[2ex] x+2y+4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-\cfrac{2z}{3} \\[4ex] y=-\cfrac{5z}{3} \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5\\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

固有値 2 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&3\\[1.1ex]-1&-1&1\\[1.1ex] 1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} y+3z = 0 \\[2ex] -x-y+z= 0\\[2ex] x+2y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-3z \\[2ex] x=4z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}4\\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

固有値 5 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&3\\[1.1ex]-1&-4&1\\[1.1ex] 1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+y+3z = 0 \\[2ex] -x-4y+z = 0\\[2ex] x+2y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=z \\[2ex] y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

したがって、行列 A の固有値と固有ベクトルは次のようになります。

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}4 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

演習 5

次の 3×3 行列の固有値と固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}$

解決策を参照

まず、行列の主対角線上の行列式から λ を引いたものを解き、特性方程式を取得します。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&2&2\\[1.1ex] 1&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&3-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8$

ルフィニの法則を使用して、特性多項式の根または最小多項式を求めます。

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&7&-14&8 \\[2ex] 1 & & -1&6&-8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&6&-8&0 \end{array}$

そして、得られた多項式の根を求めます。

$\displaystyle -\lambda^2+6\lambda -8=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda =2 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

したがって、行列の固有値は次のようになります。

$\lambda=1 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = 4$

固有値 1 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2&2\\[1.1ex] 1&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y+2z= 0 \\[2ex] x+y= 0\\[2ex] y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-2z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -2\\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

固有値 2 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&2&2\\[1.1ex] 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2y+2z = 0 \\[2ex] x= 0\\[2ex] y+z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-z \\[2ex] x=0\end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0\\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

固有値 4 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&2\\[1.1ex] 1&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y+2z = 0 \\[2ex] x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=2y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

したがって、行列 A の固有値と固有ベクトルは次のようになります。

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}2\\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 4 \qquad v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

演習 6

次の 4×4 行列の固有値と固有ベクトルを求めます。

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}$

解決策を参照

特性方程式を取得するには、まず主対角線上の行列の行列式から λ を引いたものを解く必要があります。

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}$

この場合、行列式の最後の列には 1 つの要素を除いてゼロのみが含まれているため、これを利用して、この列を介して補因子によって行列式を計算します。

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda\end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda] \end{aligned}$

次に、特性多項式の根を計算する必要があります。括弧を乗算しない方がよいのは、4 次の多項式が得られるからです。一方、2 つの因子を別々に解くと、固有値を計算するのが簡単になります。

$\displaystyle (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] -\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 +2\lambda +3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=-1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}\end{cases}$

固有値 0 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} w-y = 0 \\[2ex] 2w-x-3y = 0\\[2ex] -2w+2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=y \\[2ex] x=-w \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

固有値 -1 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&0&-3&0\\[1.1ex] -2&0&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w-y = 0 \\[2ex] 2w-3y = 0\\[2ex] -2w+3y=0 \\[2ex] 4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=w=0 \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

固有値 3 に関連付けられた固有ベクトルを計算します。

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-4&-3&0\\[1.1ex] -2&0&-1&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2w-y = 0 \\[2ex] 2w-4x-3y = 0\\[2ex] -2w-y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-2w \\[2ex] x=2w \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

固有値 3 は 2 回繰り返されるため、多重度は 2 になります。したがって、同じ方程式を満たす別の固有ベクトルを見つける必要があります。

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

したがって、行列 A の固有値と固有ベクトルは次のようになります。

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1\end{pmatrix}$

固有値と固有ベクトルとは何ですか?

行列の固有値 (または固有値) と固有ベクトル (または固有ベクトル) を計算するにはどうすればよいですか?

行列の固有値と固有ベクトルを計算する例:

固有値と固有ベクトルに関する解決済み演習 (固有値と固有ベクトル)

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

演習 6

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