合計から導出

9月 17, 2023

ここでは関数の和（公式）を求める方法を説明します。さらに、和の微分の例を見ることができ、和の微分の演習を解いて練習することもできます。最後に、合計の導関数の公式のデモンストレーションを示します。

和の導関数の公式

2 つの関数の合計の導関数は、各関数の導関数を個別に合計したものと等しくなります。

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

つまり、2 つの関数を別々に導出してからそれらを加算することは、最初に関数を加算してから導関数を取得することと同じです。

合計から導き出される

加算の微分規則は減算にも適用されるため、関数の前に正符号ではなく負符号がある場合、同じ式を使用して微分する必要があることに注意してください。

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

さらに、加算は結合特性を持つ演算です。つまり、関数全体の導関数は各関数の導関数の加算であり続けるため、加算に含まれる加算の数は重要ではありません。

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

和の導関数の例

和の導関数の公式が何であるかを理解したら、関数の和がどのように導出されるかを完全に理解するために、このタイプの演算の導関数の例をいくつか見ていきます。

例 1: ポテンシャル関数の和の導関数

$f(x)=3x^2+5x$

2 つの関数の合計の導関数は、各関数を個別に導関数したものと等しくなります。したがって、最初に各関数の導関数を個別に計算します。

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

したがって、関数全体の導関数は、計算された 2 つの導関数の合計になります。

$f'(x)=6x+5$

例 2: さまざまな関数の合計の導関数

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

関数の合計を微分するには、2 つの関数を個別に微分してから加算する必要があります。したがって、次の関数を導出します。

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

そして、見つかった 2 つの導関数を追加します。

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

例 3: 二乗和の導関数

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

この場合、関数の合計をべき乗したので、複合関数が得られます。したがって、連鎖規則を適用して関数全体を導出する必要があります。

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤参照: べき乗の導出

関数の和の微分に関する演習を解決しました。

次の関数の和を導出します

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

解決策を見る

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

合計の導関数の公式のデモンストレーション

この最後のセクションでは、関数の和の導関数の公式を示します。そして、これを行うために、次のような導関数の数学的定義に頼ります。

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

次に、z を 2 つの異なる関数の合計とします。

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

ここで、極限式の関数の合計を z に置き換えます。

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

分数を、それぞれの加算関数に対応する 2 つの分数の和になるように変換します。

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

制限の特性のおかげで、合計の制限は制限の合計と同等であるため、前の式を 2 つの制限に分けることができます。

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

そして、上記の導関数の定義で見たように、各極限は関数の導関数に対応します。したがって、次の等価性が達成されます。

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

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