エルミート (またはエルミート) 行列

このページでは、エルミート行列とも呼ばれるエルミート行列とは何かを学ぶことができます。エルミート行列の例、そのすべてのプロパティ、およびこれらのタイプの行列を完全に理解するための形式が表示されます。最後に、複素行列をエルミート行列と反エルミート行列の和に分解する方法についても説明します。

エルミート行列またはエルミート行列とは何ですか?

エルミート行列、またはエルミート行列とも呼ばれるは、共役転置に等しいという特性を持つ複素数の正方行列です。

$A=A^*$

金

$A^*$

は次の共役転置行列です

$A$

。

好奇心から、このタイプの行列は、数学、特に線形代数の分野で重要な研究を行った 19 世紀のフランスの数学者、シャルルエルミットにちなんで名付けられました。

この行列にこのような名前を付けた理由は、これらの特定の行列の固有値 (または固有値) が常に実数であることを示したためですが、これについてはエルミート行列のプロパティで詳しく説明します。

最後に、この行列は自己共役行列と呼ばれることもありますが、これは非常にまれです。

エルミート行列の例

エルミート行列 (またはエルミート行列) の定義を理解したら、さまざまな次元のエルミート行列の例をいくつか見てみましょう。

次数 2×2 のエルミート行列の例

3 × 3 次元のエルミート行列の例

サイズ 4×4 のエルミート行列の例

それぞれの共役転置行列が行列自体と等しいため、これらの行列はすべてエルミート行列です。

エルミート行列の構造

エルミート行列は非常に覚えやすい構造をしています。エルミート行列は主対角の実数で構成されており、i 行目、j 列目にある複素要素は、j 行目にある要素の共役でなければなりません。 i 番目の列。

以下にエルミート行列構造の例をいくつか示します。

2×2 エルミート構造

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b\\[1.1ex] \overline{b} & c \end{pmatrix}$

3×3 エルミート構造

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c \\[1.1ex] \overline{b} & d & e \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{e} & f\end{pmatrix}$

4×4 エルミート構造

$\displaystyle \begin{pmatrix}a& b & c & d \\[1.1ex] \overline{b} & e & f & g \\[1.1ex] \overline{c} & \overline{f} & h & i \\[1.1ex] \overline{d} & \overline{g} & \overline{i} & j \end{pmatrix}$

エルミート行列のプロパティ

ここで、このタイプの正方複素行列のプロパティが何であるかを見てみましょう。

エルミート行列はすべて正規行列です。ただし、すべての通常の行列がエルミート行列であるわけではありません。

あらゆるエルミート行列は対角化可能です。さらに、結果の対角行列には実数要素のみが含まれます。

したがって、エルミート行列の固有値 (または固有値) は常に実数です。この特性は Charles Hermite によって発見され、このため彼はこの非常に特別な行列を Hermitian と呼ぶことを光栄に思いました。

同様に、エルミート行列の固有空間は 2 対 2 で直交します。次の正規直交基底が存在します。
$\mathbb{C}^n$

行列の固有ベクトル (固有ベクトル) で構成されます。

実数の行列、つまりどの要素も虚数部を持たない行列は、それが対称行列である場合にのみエルミート行列になります。たとえば、 2×2 単位行列のようなものです。

エルミート行列は、実対称行列と虚数非対称行列の和として表すことができます。

$A =B+Ci$

2 つのエルミート行列の和 (または減算) は、次の理由により、別のエルミート行列と等しくなります。

$(A\pm B)^* = A^*\pm B^* = A \pm B$

スカラーが実数の場合、エルミート行列とスカラーの積の結果は、別のエルミート行列になります。

$(k \cdot A)^* = \overline{k}\cdot A^* = k \cdot A$

2 つのエルミート行列の積は、一般にエルミート行列ではなくなります。ただし、2 つの行列が可換である場合、つまり、2 つの行列の乗算の結果が、乗算の方向に関係なく同じである場合、積はエルミートになります。これは、共役転置を使用した演算の次の条件が成り立つためです。行列:

$(A \cdot B)^* = B^*\cdot A^* = B \cdot A = A \cdot B$

エルミート行列が可逆であれば、その逆行列もエルミート行列になります。

$(A^{-1})^* = (A^*)^{-1} = A^{-1}$

エルミート行列の行列式は常に実数と等価です。この性質の証明は次のとおりです。

$det(A) = det(A^t) \ \longrightarrow \ det(A^*) = \overline{det(A)}$

喉が渇いた

$A = A^*$

$det(A) = \overline{det(A)}$

したがって、この条件を満たすためには、エルミート行列の行列式は必ず実数でなければなりません。このように、結果の共役は結果自体と等しくなります。

複素行列のエルミート行列と反エルミート行列への分解

複素要素を含む行列は、エルミート行列と別の反エルミート行列の和に分解できます。ただし、そのためには、これらのタイプの行列の次の特性を理解しておく必要があります。

正方複素行列とその転置共役の合計により、エルミート行列が得られます。

$C + C^* = \text{Matriz Hermitiana}$

正方複素行列とその転置共役の差により、反エルミート (または反エルミート) 行列が得られます。

$C - C^* = \text{Matriz Antihermitiana}$

したがって、すべての複素行列はエルミート行列と反エルミート行列の和に分解できます。この定理はテオププリッツ分解として知られています。

$\displaystyle \begin{array}{c} C = A + B \\[2ex] A = \cfrac{1}{2}\cdot (C+C^*) \qquad B = \cfrac{1}{2} \cdot (C-C^*)\end{array}$

ここで、C は分解したい複素行列、C* はその転置共役、そして最後に A と B はそれぞれ行列 C が分解されるエルミート行列と反エルミート行列です。

エルミート行列またはエルミート行列とは何ですか?

エルミート行列の例

エルミート行列の構造

エルミート行列のプロパティ

複素行列のエルミート行列と反エルミート行列への分解

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