パラメーターを使用した連立方程式の議論 -

このページでは、パラメーターを使用して連立方程式を議論し解く方法を説明します。さらに、連立一次方程式の例と解答済みの練習問題も見つかります。

一方、連立一次方程式を解析するには、クラマー則とは何か、ルーシェ・フロベニウスの定理とは何かを理解しておくことが重要です。これらは常に使用することになるためです。

パラメータを使用した連立一次方程式の例

パラメーターmに関して次の連立方程式を議論して解きます。

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+my+2z=0 \\[1.5ex] 3x+mz = 4\end{cases}$

まず、システムの行列 A と拡張行列 A’ を作成します。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & m & 4 \end{array} \right)$

次に、Sarrus の法則を使用して A の行列式を解き、行列がどのランクであるかを確認します。

$\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} & =m^2+6+0-6m-0+m \\ & = m^2-5m+6 \end{aligned}$

したがって、 A の行列式の結果はmの値に依存します。したがって、 mのどの値について行列式が消えるかを見てみましょう。これを行うには、結果を 0 に設定します。

$\displaystyle m^2-5m+6 = 0$

そして、二次方程式を次の式で解きます。

$\displaystyle m = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\displaystyle m = \cfrac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \cfrac{5 \pm \sqrt{25-24}}{2} =\cfrac{5 \pm 1}{2} = \begin{cases} \bm{m = 3} \\[2ex] \bm{m =2} \end{cases}$

したがって、 mが 2 または 3 に等しい場合、A の行列式は 0 になります。また、 m が2 または 3 とは異なる場合、A の行列式は 0 とは異なります。

したがって、各ケースを個別に分析する必要があります。

m≠3 および m≠2:

先ほど見たように、パラメーターmが 2 および 3 と異なる場合、行列 A の行列式は 0 とは異なります。したがって、 A のランクは 3 です。

$\displaystyle rg(A)=3$

さらに、行列 A’ の階数も 3 です。これは、その中に行列式が 0 とは異なる 3×3 部分行列があるためです。また、「4×4 行列式を作ることはできない」ため、階数 4 にすることはできません。

$\displaystyle rg(A')=3$

次に、行列 A のランクは行列 A’ のランクとシステムの未知数の数 (3) に等しいため、ルーシェ-フロベニウスの定理により、それが決定されたシステム互換性(SCD) であることがわかります。 :

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 3 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = n = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCD}\phantom{^9_9}} \end{array}$

システムが互換性決定システム (DCS) であることがわかったら、それを解決するためにCramer の法則を適用します。これを行うには、行列 A、その行列式、および行列 A’ が次のとおりであることを思い出してください。

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & m \end{vmatrix} = m^2-5m+6$

クラマー則で x を計算するには、行列 A の行列式の最初の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle\bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 & 1 & 2\\[1.1ex]0&m&2 \\[1.1ex] 4 & 0 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6}$

Cramer の規則を使用して y を計算するには、A の行列式の 2 番目の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix}1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6}$

Cramer の規則を使用して z を計算するには、A の行列式の 3 番目の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & m & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6}$

したがって、m≠3 および m≠2 の場合の連立方程式の解は次のようになります。

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{2m^2+8-8m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{y=} \cfrac{\bm{-4+2m}}{\bm{m^2-5m+6}} \qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{-2m+4}}{\bm{m^2-5m+6}}$

ご覧のとおり、この場合、連立方程式の解は m の関数です。

m が 2 および 3 と異なる場合の解を見つけたら、m が 2 に等しい場合の系を解きます。

m=2:

ここで、パラメーターm が2 に等しい場合のシステムを分析します。この場合、行列 A と A’ は次のとおりです。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 & 4 \end{array} \right)$

前に見たように、m=2 の場合、A の行列式は 0 です。したがって、行列 A はランク 3 ではありません。しかし、その内部には 0 とは異なる 2×2 行列式があります。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

したがって、この場合、A のランクは 2 です。

$\displaystyle rg(A)=2$

行列 A のランクがわかったら、A’ のランクを計算します。最初の 3 列の行列式は 0 を与えるため、行列 A’ 内の他の可能な 3×3 行列式を試します。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 4 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 2 & 4 \end{vmatrix}=0\qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 4\end{vmatrix}=0$

次元 3×3 の考えられるすべての行列式は 0 になります。しかし、明らかに、行列 A’ は行列 A と同じ 2×2 の非 0 行列式を持ちます。

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - (-1)=3 \neq 0$

したがって、行列 A’ もランク 2 になります。

$\displaystyle rg(A')=2$

したがって、行列 A のランクは行列 A’ のランクに等しいが、これら 2 つはシステム (3) の未知数の数より小さいため、ルーシェ-フロベニウスの定理によって、これは不定互換性のあるシステムであることがわかります。 (ICS):

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=2 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = rg(A') = 2 \ < \ n =3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SCI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

これは ICS であるため、これを解決するにはシステムを変換する必要があります。これを行うには、まずシステムから方程式を削除する必要があります。この場合、最後の方程式を削除します。

$\begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x+2z = 4} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0\end{cases}$

次に、変数 z を λ に変換しましょう。

$\begin{cases}x+y+2z= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} x+y+2\lambda= 2 \\[1.5ex] -x+2y+2\lambda=0\end{cases}$

そして、λ を含む項を独立した項に置きます。

$\begin{cases}x+y=2-2\lambda \\[1.5ex] -x+2y=-2\lambda \end{cases}$

したがって、システムの行列 A と行列 A’ は残ります。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & 2 & -2\lambda \end{array} \right)$

最後に、システムを変換したら、 Cramer のルールを適用します。これを行うには、まず A の行列式を解きます。

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 2\end{vmatrix} =2-(-1)=3$

Cramer の規則を使用してxを計算するには、A の行列式の最初の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2 -2\lambda & 1 \\[1.1ex] -2\lambda & 2 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{4-4\lambda-(-2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}}$

Cramer の規則を使用してyを計算するには、A の行列式の 2 番目の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 1 & 2 -2\lambda \\[1.1ex] -1 & -2\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}=\cfrac{-2\lambda -(-2+2\lambda)}{3} = \cfrac{\bm{2-4\lambda} }{\bm{3}}$

したがって、m=2 の場合、連立方程式の解は λ の関数になります。これは SCI であるため、無限の解が存在します。

$\displaystyle \bm{x =} \cfrac{\bm{4-2\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{2-4\lambda}}{\bm{3}} \qquad \bm{z=\lambda}$

パラメーターm が2 および 3 と異なる場合、および 2 に等しい場合のシステムの解をすでに分析しました。したがって、必要なのは最後のケース、つまりm が3 の値を取る場合だけです。

m=3:

ここで、パラメーターm が3 の場合に何が起こるかを分析します。この場合、行列 A と A’ は次のとおりです。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 3 & 0 & 3 & 4 \end{array} \right)$

前に見たように、m=3 の場合、A の行列式は 0 です。したがって、行列 A はランク 3 ではありません。しかし、その内部には 0 とは異なる 2×2 の行列式があります。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix}1 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - (-1)=4 \neq 0$

したがって、この場合、A のランクは 2 です。

$\displaystyle rg(A)=2$

行列 A のランクがわかったら、A’ のランクを計算します。最初の 3 列の行列式は 0 を与えるため、行列 A’ 内にある別の 3×3 行列式、たとえば最後の 3 列の行列式を試します。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 3 & 4\end{vmatrix}=2$

一方、行列 A’ には結果が 0 とは異なる行列式が含まれているため、行列 A’ のランクは 3 になります。

$\displaystyle rg(A')=3$

したがって、m = 3 の場合、行列 A のランクは行列 A’ のランクよりも低くなります。したがって、ルーシェ-フロベニウスの定理から、システムは互換性のないシステム(IS) であると推定されます。

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas}=3\end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A)=2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

したがって、 m = 3 の場合、連立方程式には解がありません。

例の要約:

これまで見てきたように、連立方程式の解はパラメーターmの値に依存します。考えられるすべてのケースの概要は次のとおりです。

m≠3 および m≠2:

$\displaystyle \bm{SCD} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{2m^2+8-8m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] y =\cfrac{-4+2m}{m^2-5m+6} \\[3.5ex] z = \cfrac{-2m+4}{m^2-5m+6} \end{cases}$

m=2:

$\displaystyle \bm{SCI} \longrightarrow \begin{cases} x = \cfrac{4-2\lambda}{3} \\[3.5ex] y= \cfrac{2-4\lambda}{3} \\[3.5ex] z = \lambda \end{cases}$

m=3:

$\displaystyle \bm{SI} \longrightarrow$

システムには解決策がありません。

ここでは、ルーシュの定理とクラマーの法則を使用してプロセス全体を実行しましたが、パラメーターを含む連立方程式は、ガウスの方法 (演習付き)によって議論および解決することもできます。この方法の詳細については、リンク先のページで学ぶことができます。このページには、手順の詳細な説明、例、および解決された演習が段階的に記載されています。

パラメータ付き一次方程式系のディスカッション問題を解決しました

演習 1

次のパラメータ依存線形方程式系について議論して解きます。

解決策を参照

まず、システムの行列 A と拡張行列 A’ を作成します。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

次に、行列 A のランクを見つける必要があります。これを行うには、行列全体の行列式が 0 と異なるかどうかを確認します。

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{vmatrix} & =-4m+9-2-3-24-m \\ & =-5m-20 \end{aligned}$

A の行列式の結果は、m の値に依存します。したがって、m のどの値について行列式が消えるかを見てみましょう。これを行うには、結果の結果を 0 に等しくして、方程式を解きます。

$-5m-20 = 0$

$-5m = 20$

$m = \cfrac{20}{-5} = -4$

したがって、m が -4 の場合、A の行列式は 0 になります。また、m が -4 と異なる場合、A の行列式は 0 とは異なります。したがって、各ケースを個別に分析する必要があります。

m≠-4:

先ほど見たように、パラメーター m が -4 と異なる場合、行列 A の行列式は 0 とは異なります。したがって、A のランクは 3 になります。

$\displaystyle rg(A)=3$

さらに、行列 A’ の階数も 3 です。その中には行列式が 0 とは異なる 3×3 部分行列があるためです。また、「4×4 行列式を作ることはできない」ため、階数 4 になることはあり得ません。

$\displaystyle rg(A')=3$

したがって、ルーシェ-フロベニウスの定理を適用すると、 A の範囲が A’ の範囲および未知数の数に等しいため、これが互換性のある決定系(SCD) であることがわかります。

システムが SCD であることがわかったら、それを解決するために Cramer の法則を適用します。これを行うには、行列 A、その行列式、および行列 A’ が次のとおりであることを思い出してください。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c} 4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m & 0\end{array} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & -m\end{vmatrix} =-5m-20$

Cramer の規則を使用して xatex] を計算するには、A の行列式の最初の列を独立項の列で変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -3 \\[1.1ex] 0 & -2 & -m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

未知数を計算するには、クラマーの法則を使用して、A の行列式の 2 番目の列を独立項の列で変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 & -3 \\[1.1ex] 3 & 0 & -m \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

Cramer の規則を使用して z を計算するには、A の行列式の 3 番目の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{0}{-5m-20} = \bm{0}$

したがって、m≠-4 の場合の連立方程式の解は次のようになります。

x=0 y=0 z=0

m=-4:

次に、パラメーター m が -4 の場合のシステムを分析します。この場合、行列 A と A’ は次のようになります。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}4 & -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 4 & 0\end{array} \right)$

前に見たように、m=-4 の場合、A の行列式は 0 です。したがって、行列 A はランク 3 ではありません。しかし、その内部には 0 とは異なる 2×2 の行列式があります。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

行列には 0 とは異なる次数 2 の行列式があるため、行列 A はランク 2 になります。

$\displaystyle rg(A)=2$

A のランクがわかったら、A’ のランクを計算します。最初の 3 列の行列式が 0 を与えることはすでにわかっているので、他の可能な 3×3 行列式を試します。

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -3 & 0 \\[1.1ex] 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad \begin{vmatrix}4 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & -2 & 0\end{vmatrix} = 0$

行列 A’ の 3×3 行列式はすべて 0 であるため、行列 A’ もランク 3 にはなりません。ただし、内部には 0 とは異なる次数 2 の行列式が含まれています。例:

$\displaystyle \begin{vmatrix}4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} =4-(-1)=5 \neq 0$

したがって、行列 A’ はランク 2 になります。

$\displaystyle rg(A')=2$

行列 A の範囲は行列 A’ の範囲に等しいですが、これら 2 つは系 (3) の未知数の数より小さいため、ルーシェ-フロベニウスの定理によれば、c は不定互換系 (ICS) です。

これは ICS システムなので、それを解決するにはシステムを変換する必要があります。まず、1 つの方程式を削除します。この場合、それが最後の方程式になります。

$\begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \\[1.5ex] \cancel{3x-2y+4z = 0} \end{cases} \longrightarrow \quad \begin{cases} 4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0\end{cases}$

次に、変数 z を λ に変換しましょう。

$\begin{cases}4x-y+z= 0 \\[1.5ex] x+y-3z=0 \end{cases} \xrightarrow{z \ = \ \lambda}\quad \begin{cases} 4x-y+\lambda= 0 \\[1.5ex] x+y-3\lambda=0\end{cases}$

そして、λ を含む項を独立した項に置きます。

$\begin{cases} 4x-y=-\lambda \\[1.5ex] x+y=3\lambda \end{cases}$

システムの行列 A と行列 A’ はそのまま残ります。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{cc|c} 4 & -1 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 1 & 3\lambda \end{array} \right)$

最後に、システムを変換したら、クラマーの法則を適用します。これを行うには、まず A の行列式を解きます。

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{vmatrix} = 4-(-1)=5$

Cramer の規則を使用して x を計算するには、A の行列式の最初の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix}-\lambda & -1 \\[1.1ex] 3\lambda & 1 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{-\lambda-(-3\lambda)}{5} =\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}$

未知数を計算するには、クラマーの法則を使用して、A の行列式の 2 番目の列を独立項の列で変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} 4 & -\lambda \\[1.1ex] 1 & 3\lambda \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{12\lambda-(-\lambda)}{5}=\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}}$

したがって、m=-4 の場合、連立方程式の解は λ の関数になります。これは SCI であるため、無限の解が存在します。

$\displaystyle \bm{x =}\cfrac{\bm{2\lambda}}{\bm{5}}\qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{13\lambda}}{\bm{5}} \qquad \bm{z=\lambda}$

演習 2

次のパラメータ依存一次方程式系について議論し、解を見つけてください。

解決策を参照

最初に行うことは、システムの行列 A と拡張行列 A’ です。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}m & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & m & 3\end{array} \right)$

次に、行列 A のランクを見つける必要があります。これを行うには、行列全体の行列式が 0 と異なるかどうかを確認します。

$\displaystyle \begin{aligned}\begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix} & =4m^2+4-4-4+4m-4m \\ & =4m^2-4 \end{aligned}$

$4m^2-4 = 0$

$4m^2=4$

$m^2 = \cfrac{4}{4}$

$m^2 = 1$

$m = \pm 1$

したがって、m が +1 または -1 の場合、A の行列式は 0 になります。また、m が +1 および -1 と異なる場合、A の行列式は 0 とは異なります。したがって、各ケースを次のように分析する必要があります。

m≠+1 および m≠-1:

先ほど見たように、パラメーター m が +1 および -1 と異なる場合、行列 A の行列式は 0 とは異なります。したがって、A のランクは 3 になります。

$\displaystyle rg(A)=3$

$\displaystyle rg(A')=3$

$\displaystyle \begin{vmatrix}A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & m\end{vmatrix}=4m^2-4$

Cramer の規則を使用して x を計算するには、A の行列式の最初の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{x} = \cfrac{\begin{vmatrix} 2& 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] 3 & -2 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}}$

未知数を計算するには、クラマーの法則を使用して、A の行列式の 2 番目の列を独立項の列で変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{y} = \cfrac{\begin{vmatrix} m & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 2 \\[1.1ex] 1 & 3 & m\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}$

Cramer の規則を使用して z を計算するには、A の行列式の 3 番目の列を独立項の列に変更し、それを A の行列式で割ります。

$\displaystyle \bm{z} = \cfrac{\begin{vmatrix}m & 2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

したがって、m≠+1 および m≠-1 の場合の連立方程式の解は次のようになります。

$\displaystyle \bm{x = }\cfrac{\bm{8m+8}}{\bm{4m^2-4}} \qquad \bm{y=}\cfrac{\bm{-10m+10}}{\bm{4m^2-4}}\qquad \bm{z =} \cfrac{\bm{12m-28}}{\bm{4m^2-4}}$

m=+1:

ここで、パラメーター m が 1 に等しい場合のシステムを分析します。この場合、行列 A と A’ は次のとおりです。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & 1 & 3\end{array} \right)$

前に見たように、m=+1 の場合、A の行列式は 0 です。したがって、行列 A はランク 3 ではありません。しかし、その内部には 0 とは異なる 2×2 行列式があります。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix}2 & 4\\[1.1ex] 1 & -2 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

行列には 0 とは異なる次数 2 の行列式があるため、行列 A はランク 2 になります。

$\displaystyle rg(A)=2$

A のランクがわかったら、A’ のランクを計算します。最初の 3 列の行列式が 0 になることはすでにわかっているので、たとえば最後の 3 列の行列式を試してみます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 16$

一方、行列 A’ には、結果が 0 とは異なる 3×3 行列式が含まれているため、行列 A’ のランクは 3 になります。

$\displaystyle rg(A')=3$

したがって、m=+1 の場合、行列 A のランクは行列 A’ のランクよりも小さくなります。したがって、ルーシェ-フロベニウスの定理から、システムは互換性のないシステム (IS) であると推定されます。

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

したがって、 m=+1 の場合、連立方程式は互換性のない系であるため、解がありません。

m=-1:

次に、パラメーター m が -1 の場合のシステムを分析します。この場合、行列 A と A’ は次のようになります。

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 2 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right) \qquad A'= \left( \begin{array}{ccc|c}-1 & 2 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 & 3\end{array} \right)$

前に見たように、m=-1 の場合、A の行列式は 0 です。したがって、行列 A はランク 3 ではありません。しかし、その内部には 0 とは異なる 2×2 の行列式があります。たとえば、次のようになります。

$\displaystyle \begin{vmatrix}-1 & 2\\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} =-4-4=-8 \neq 0$

行列には 0 とは異なる次数 2 の行列式があるため、行列 A はランク 2 になります。

$\displaystyle rg(A)=2$

A のランクがわかったら、A’ のランクを計算します。最初の 3 列の行列式が 0 になることはすでにわかっているので、たとえば列 1、3、および 4 の行列式を試してみます。

$\displaystyle \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\[1.1ex] 2 & 2 & 0 \\[1.1ex] 1 & -1 & 3\end{vmatrix} = -20$

一方、行列 A’ には、結果が 0 とは異なる 3×3 行列式が含まれているため、行列 A’ のランクは 3 になります。

$\displaystyle rg(A')=3$

したがって、m = -1 の場合、行列 A のランクは行列 A’ のランクよりも低くなります。したがって、ルーシェ-フロベニウスの定理から、システムは互換性のないシステム (IS) であると推定されます。

$\displaystyle \begin{array}{c} \begin{array}{c} \color{black}rg(A) = 2 \\[1.3ex] \color{black}rg(A')=3 \\[1.3ex] \color{black}\text{N\'umero de inc\'ognitas} = 3 \end{array}} \\ \\ \color{blue} \boxed{ \color{black}\phantom{^9_9} rg(A) = 2 \ \neq \ rg(A') = 3 \color{blue} \ \bm{\longrightarrow} \ \color{black} \bm{SI}\phantom{^9_9}} \end{array}$

したがって、 m=-1 の場合、連立方程式は互換性のない系であるため、解がありません。

パラメータを使用した連立一次方程式の例

例の要約:

パラメータ付き一次方程式系のディスカッション問題を解決しました

演習 1

演習 2

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