行列の定義と行列の種類

この記事では、行列とは何か、行列の次元がどのように決定されるかについて説明します。さらに、サンプル行列も表示されます。そして最後に、どのタイプの行列が最も重要であるかがわかります。

マトリックスとは何ですか?

コマンドマトリックス

$m \times n$

に配置された一連の数字です

$m$

行と

$n$

列:

$\displaystyle A =\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\[1.1ex] a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\[1.1ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[1.1ex] a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array} \right)$

マトリックスの例

以下に、さまざまな行列の例をいくつか示します。

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 8 & 7 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 9 & 2 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix} \qquad C = \begin{pmatrix} 5 & 2 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 & 8 \end{pmatrix}$

テーブルの寸法

配列の次元は

$\bm{m \times n}$

。金

$m$

行列の行数に対応し、

$n$

列の数に。

例:

次元マトリックス

$2 \times 3:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[1.1ex] -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

次元マトリックス

$2 \times 1 :$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

行列の種類

以下では、最も重要なマトリックスタイプの特徴について説明します。

行行列

この行列には行が 1 つだけあります。

$\displaystyle\begin{pmatrix} 3 & 6 & -2 \end{pmatrix}$

列行列

この行列には列が 1 つだけあります。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 \\[1.1ex] 4 \end{pmatrix}$

転置行列

転置または転置行列は、行を列に変更することによって得られる行列です。そしてそれは行列の右上に「t」を置くことで表されます

$\left(A^t \right) .$

例:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -1 & 5 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ A^t= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B= \begin{pmatrix} 1 & 5 & 4 \\[1.1ex] 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ B^t= \begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \\[1.1ex] 4 & 2 \end{pmatrix}$

正方行列

正方行列は、行と列の数が同じ行列です。

$(m=n ) .$

たとえば、次数 3 の正方行列は次のようになります。

$\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} 1 & 6 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & -1 & 2 \end{array} \right)$

正方行列の主対角は、左上隅から右下隅までの要素で構成されます。

正方行列の二次対角は、左下隅から右上隅に向かう要素に対応します。

正方行列はおそらく最もよく使用されるタイプの行列であり、線形代数にとって非常に重要であるため、正方行列のプロパティをすべて確認することをお勧めします。

三角行列

三角行列とは、主対角線の上下の要素がすべて 0 である行列です。

三角行列は、主対角より下の要素がゼロである上三角行列と、主対角より上の要素がゼロである下三角行列の2 つのタイプに分類されます。それらの違いを完全に理解するには、三角行列の他の例を確認してください。

上三角行列:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 1 & 7 \\[1.1ex] 0 & 2 & 5 \\[1.1ex] 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$

下三角行列:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 4 \end{pmatrix}$

対角行列

対角行列は、主対角線上にないすべての要素がゼロである正方行列です。このリンクでは、対角行列のプロパティとその他の例を参照できます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 2 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & -3 \end{pmatrix}$

これらの行列は 0 が多く含まれているため非常に単純に見えますが、実際には数学にとって非常に重要です。実際、行列を対角化するための手順全体が存在するため、対角化可能な行列は非常に重要です。

スカラー行列

スカラー行列は、主対角のすべての要素が等しい対角行列です。必要に応じて、スカラー行列の他の例をここで見ることができます。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

恒等行列または単位

単位行列は、主対角のすべての要素が 1 に等しい対角行列です。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

他の対角行列と同様に、これは非常に単純なタイプの行列のように見えます。ただし、その外観に騙されないでください。行列の反転に使用されるなど、その特性により広く使用されている行列です。単位行列の有用性を理解するために、単位行列のプロパティを確認することをお勧めします。

ヌル行列

ゼロ行列は、すべての要素が 0 である行列です。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \\[1.1ex] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

ご覧のとおり、この行列はまったく複雑ではありません。しかし、そうは見えないかもしれませんが、用途はあります。ヌル行列のプロパティページでそのアプリケーションを確認できます。

対称行列

対称行列は、主対角が対称軸である行列です。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 3 & 5 & 9 \\[1.1ex] -1 & 9 & 1 \end{pmatrix}$

対称行列の性質により、対称行列を転置した結果は行列そのものになります。

非対称行列

反対称行列とは、主対角がゼロで埋められた行列であり、さらに反対称の軸です。

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 4 & 2 \\[1.1ex] -4 & 0 & -3 \\[1.1ex] -2 & 3 & 0 \end{pmatrix}$

次のリンクでは、反対称行列のすべてのプロパティとその他の例を参照できます。

テーブルの種類を見てきたので、おそらく疑問に思っているでしょう…これには一体何の意味があるのでしょうか?主なアプリケーションの 1 つは行列演算で、その中で最も重要なのは乗算です。乗算行列のページでその方法を確認することもできます。