行: 定義、特性、タイプ、方程式…; -マソリティ

線に関するすべての説明: 線とは何か、存在するさまざまな種類、線を数学的に表現する方法 (方程式)、線の相対位置は何か、2 本の線の間の角度を計算する方法、線の解釈線の傾き…。

ラインとは何ですか?

線の数学的定義は次のとおりです。

線は、曲線や角度を持たずに同じ方向に表現される連続した点の無限のセットです。

一方、線は、2 つの異なる点間の可能な最小距離に対応します。

また、線は同じ方向に伸びる線なので、次元は 1 つだけです。

線種

線とは何かを見てきましたが、線には複数の種類があり、それぞれに独自の特徴があることを知っておく必要があります。したがって、行は次のように分類できます。

平行線

平行線とは、決して交わらない線、つまり、たとえ軌道が無限に伸びても決して接触しない線のことです。したがって、2 本の平行線の点は常に同じ距離にあり、さらに 2 本の平行線には共通点がありません。

交差する線

数学では、2 つの線が 1 点でのみ交差する場合、2 本の線が交差します。したがって、交差する線には共通点が 1 つだけあります。

交差する線の例は、垂直線です。これは、4 つの等しい直角 (90 度) を形成する点で交差する線です。

ご存知のとおり、垂直線は非常に重要です。そのため、このタイプの線について知っておくべきことすべてを説明したページがあります。2 本の線が垂直である場合、互いに垂直な線の計算方法、例などです。垂直線に関する演習などを解きました。そこで、さらに詳しく知りたい場合に備えて、線間の直角度のページを残しておきます。

一方、90度の角度で交差するが交差せず、別の角度をなす線を斜線といいます。

一致する線

2 本の一致線とは、すべての点が共通している 2 本の線です。したがって、一致する 2 つの直線は完全に同一です。

レイ

半線は、線をその点の 1 つで切断して 2 つの部分に分けたものをそれぞれ呼びます。

たとえば、前の線を点 A で分割すると、半分の線が形成されます。

$s$

そして

$t.$

直線の方程式

解析幾何学では、任意の線を解析的に表現するために、線の方程式を使用します。そして、平面 (R2) または空間 (R3) のいずれかで直線の方程式を求めるために必要なのは、その直線に属する点とその直線の方向ベクトルだけです。

前の行のグラフィック表現でわかるように、行の名前は小文字で付けられています。この場合、

$r.$

直線の方程式にはいくつかの種類があります。すべてのタイプの線方程式には、線を数学的に表すという同じ目的があります。ただし、直線の方程式にはそれぞれ特性があるため、問題に応じてどちらかを使用する方がよいでしょう。以下に、直線のすべての方程式の式を示します。

直線のベクトル方程式

うん

$\vv{\text{v}}$

は直線の方向ベクトルであり、

$P$

右側に属する点:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直線のベクトル方程式の式は次のとおりです。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
$P_1$

そして

$P_2$

直線の一部を形成する既知の点の座標です

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

そして

$\text{v}_2$

線の方向ベクトルの成分です

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

はスカラー (実数) であり、その値は線上の各点に依存します。

直線のパラメトリック方程式

直線のパラメトリック方程式の式は次のとおりです。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
$P_1$

そして

$P_2$

直線の一部を形成する既知の点の座標です

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

そして

$\text{v}_2$

線の方向ベクトルの成分です

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

はスカラー (実数) であり、その値は線上の各点に依存します。

連続直線方程式

直線の連続方程式の公式は次のとおりです。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
$P_1$

そして

$P_2$

直線の一部を形成する既知の点の座標です

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

そして

$\text{v}_2$

線の方向ベクトルの成分です

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

暗黙的または一般的な直線の方程式

うん

$\vv{\text{v}}$

は直線の方向ベクトルであり、

$P$

右側に属する点:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直線の陰的な一般方程式またはデカルト方程式の式は次のとおりです。

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
係数
$A$

は線の方向ベクトルの 2 番目の成分です。

$A=\text{v}_2}$
係数
$B$

方向ベクトルの最初の成分が符号を変更します。

$B=-\text{v}_1}$
係数
$C$

既知の点を置き換えることによって計算されます

$P$

直線の方程式で。

この公式では、直線の陰的な方程式は、連続方程式の分数を乗算することによっても取得できます。

明示的な直線の方程式

直線の明示的な方程式の式は次のとおりです。

金：

$m$

線の傾きです。
$n$

y 切片、つまり Y 軸と交差する高さです。

この特定のケースでは、陽的な方程式を計算する別の方法は、陰的な方程式を使用することです。これを行うには、変数を削除するだけです

$y$

暗黙的な方程式の。

直線の点と傾きの方程式

直線の点と傾きの方程式の式は次のとおりです。

金：

$m$

線の傾きです。
$P_1, P_2$

線上の点の座標です

$P(P_1,P_2).$

直線の正準方程式または部分方程式

この直線の方程式の変形はあまり知られていませんが、直線の正準方程式は直線とデカルト軸の交点から取得できます。

指定された直線の軸との 2 つの交点を次のようにします。

X 軸でカットします。

$(a,0)$

Y 軸でカット:

$(0,b)$

直線の正準方程式の式は次のとおりです。

ここまでは直線の方程式の公式をすべて見てきましたが、必要に応じてさらに深く掘り下げて、直線の方程式の演習を行って練習することもできます。さらに、このページでは、単線方程式のより詳細な説明と、あらゆる種類の単線方程式の計算方法の例が表示されます。

線の傾きの意味

上記のすべての情報により、線の方程式がどのようなものであるか、そして線を説明する 1 つの方法はその傾きによってであることがすでに完全にわかりました。しかし実際には…線の傾きは何を意味するのでしょうか?

線の傾きは、グラフの水平単位ごとに線が上昇する垂直単位を示します。

たとえば、次の線の表現では、傾きが 2 に等しいため、水平単位ごとに垂直方向に 2 単位進むことがわかります。

さらに、線の傾きもその急峻さを示します。

線が増加している (上昇している) 場合、その傾きは正です。
線が減少 (下降) している場合、その傾きは負になります。
線が完全に水平の場合、その傾きは 0 に等しくなります。
線が完全に垂直の場合、その傾きは無限大に等しくなります。

平面内の 2 つの線の相対位置

2 次元 (R2 内) を扱う場合、2 つの線の間には 3 種類の相対位置が考えられます。

交差する線

2 つの交差する線には 1 つの共通点しかありません。

平行線

2 本の線は、共通点がなければ平行です。つまり、彼らが決して交差しない場合です。

一致する線

すべての点が共通している場合、2 つの直線は同じです。

一方、平面内の 2 本の線の間の角度は、それらの相対位置にも依存します。

交差する線は、0 度 (含まれない) から 90 度 (両端の値を含む) の間の角度で交差します。さらに、それらがちょうど 90 度の直角を形成する場合、それは 2 つの線が垂直であることを意味します。
平行線は方向が同じなので、角度は 0°になります。
また、同じ理由で、一致する線の間の角度も 0 度になります。

2本の線の間の角度

2 つの直線間の角度を計算するにはいくつかの方法があり、中には非常に複雑な方法もあります。ここでは 2 つの直線間の角度を求める最も簡単な方法を説明します。

方向ベクトルを使用して2 つの線の間の角度を計算する式は次のとおりです。

2 つの異なるラインの方向ベクトルを考えると、次のようになります。

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

これら 2 本の線の間の角度は、次の式で計算できます。

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

金

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

そして

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

ベクトルのモジュールです

$\vv{\text{u}}$

そして

$\vv{\text{v}}$

それぞれ。

ベクトルの大きさの公式は次のとおりであることに注意してください。

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

明らかに、公式を使用して 2 つの直線によって形成される角度のコサインを計算したら、角度の値を知るためにコサインを反転する必要があります。

ライン: 定義、特性、タイプ、方程式…

ラインとは何ですか?

線種