連続直線方程式

このページでは、直線の連続方程式に関するすべてがわかります。それが何を意味するのか、その点とベクトルからどのように計算されるのか、そしてたった 2 つの点でどのように決定されるのかがわかります。さらに、いくつかの例を見ることができ、演習や問題を段階的に解決して練習することもできます。

直線の連続方程式とは何ですか?

線の数学的定義は、曲線や角度を持たずに同じ方向に表現される一連の連続する点であることに注意してください。

したがって、連続線の方程式は、任意の線を数学的に表現する方法です。そして、そのためには、その直線に属する点とその直線の方向ベクトルがわかれば十分です。

直線の連続方程式はどのように計算されるのでしょうか?

うん

$\vv{\text{v}}$

は直線の方向ベクトルであり、

$P$

右側に属する点:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

直線の連続方程式の公式は次のとおりです。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

金：

$x$

そして

$y$

は、線上の任意の点のデカルト座標です。
$P_1$

そして

$P_2$

は、ラインの一部である既知の点の座標です。
$\text{v}_1$

そして

$\text{v}_2$

は線の方向ベクトルの成分です。

この公式は、平面内の直線の連続方程式、つまり 2 つの座標 (R2) の点とベクトルを扱う場合に使用されます。しかし、空間 (R3) で計算を行っている場合は、直線の方程式に追加のコンポーネントを追加する必要があります。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}= \cfrac{z-P_3}{\text{v}_3}$

一方、連続方程式とは別に、直線を解析的に表現する他の方法、つまりベクトル方程式、パラメトリック方程式、陰的 (または一般) 方程式、陽的方程式、および点傾き方程式があることに留意してください。アライン。それが何であるかは当社のウェブサイトで確認できます。

実際、線分の連続方程式はパラメトリック方程式から取得できます。線上のパラメトリック方程式の式を見てください。

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

設定をクリアすると

$t$

各パラメトリック方程式から次のことが得られます。

$t =\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}}$

$t =\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}}$

結果として得られる 2 つの方程式を等価すると、直線の連続方程式が得られます。

$t= t$

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

直線の連続方程式の求め方の例

例を使用して直線の連続方程式がどのように決定されるかを見てみましょう。

点を通る直線の連続方程式を書きます
$P$

そして持っています

$\vv{\text{v}}$

誘導ベクトルとして:

$\vv{\text{v}}= (4,-2) \qquad P(-1,3)$

直線の連続方程式を求めるには、その式を単純に適用します。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-(-1)}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

$\cfrac{x+1}{4}=\cfrac{y-3}{-2}$

2点からの直線の連続方程式を求める方法

連続方程式に関する一般的な問題は、直線に属する 2 つの点が得られ、それらから連続方程式を計算する必要があることです。例を使ってそれがどのように解決されるかを見てみましょう。

次の 2 点を通る直線の連続方程式を求めます。

$A(1,5) \qquad B(3,-4)$

上のセクションで見たように、直線の連続方程式を計算するには、その方向ベクトルとその上の点を知る必要があります。すでに右側に点がありますが、その方向ベクトルがありません。したがって、最初に線の方向ベクトルを計算し、次に連続方程式を計算する必要があります。

線の方向ベクトルを決定するには、式で指定された 2 つの点によって定義されるベクトルを計算するだけです。

$\vv{AB} = B - A = (3,-4) - (1,5) = (2,-9)$

線の方向ベクトルがすでにわかっていると、線の連続方程式を見つけるには、次の公式を適用するだけです。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-1}{2}=\cfrac{y-5}{-9}$

この場合、点 A を使用して直線の連続方程式を定義しましたが、ステートメントで指定された他の点を使用してそれを記述することも正しいです。

$\cfrac{x-3}{2}=\cfrac{y+4}{-9}$

直線の連続方程式の問題を解決しました

演習 1

方向ベクトルが次の直線の連続方程式を求めます。

$\vv{\text{v}}$

そしてポイントを通過します

$P:$

$\vv{\text{v}}= (5,-4) \qquad P(2,-1)$

解決策を参照

直線の連続方程式を求めるには、その式を単純に適用します。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y-(-1)}{-4}$

$\cfrac{x-2}{5}=\cfrac{y+1}{-4}$

演習 2

方向ベクトルと次の直線上の点を決定します。

$\cfrac{x-1}{6}=\cfrac{y+4}{-5}$

解決策を参照

ステートメント内の行は連続方程式の形式で表され、その式は次のとおりです。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

したがって、線の方向ベクトルの成分は分数の分母に対応します。

$\vv{\text{v}} = (6,-5)$

そして、線上の点のデカルト座標は、符号を変更した分子の数です。

$P(1,-4)$

演習 3

次の 2 点を通る直線の連続方程式を求めます。

$A(2,-2) \qquad B(8,3)$

解決策を参照

直線の連続方程式を計算するには、その方向ベクトルとその点の 1 つを知る必要があります。この場合、ライン上にはすでに点がありますが、その方向ベクトルがありません。したがって、最初に線の方向ベクトルを計算し、次に方程式を継続する必要があります。

線の方向ベクトルを見つけるには、式で指定された 2 つの点によって定義されるベクトルを計算するだけです。

$\vv{AB} = B - A = (8,3) - (2,-2) = (6,5)$

線の方向ベクトルがすでにわかっていると、その連続方程式を見つけるには、次の公式を適用するだけです。

$\cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2}$

$\cfrac{x-2}{6}=\cfrac{y+2}{5}$

この場合、連続方程式を定義するために点 A を選択しましたが、ステートメントで与えられる他の点を使用してそれを記述することも有効です。

$\cfrac{x-8}{6}=\cfrac{y-3}{5}$

演習 4

次の点を考慮すると、

$P(0,3)$

次の連続方程式で定義される直線に属するかどうかを判断します。

$\cfrac{x+2}{2}=\cfrac{y-3}{-4}$

解決策を参照

点が直線に属しているかどうかを確認するには、点の座標を直線の方程式に代入する必要があります。点が方程式を満たす場合は、その点が実際に直線に属していることを意味し、一方、方程式が満たされていない場合は、点が直線の一部ではないことを意味します。

したがって、点の座標を指定された直線の方程式に代入します。

$\cfrac{0+2}{2}=\cfrac{3-3}{-4}$

そして私たちは以下のことを行っています。

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{0}{-4}$

$1 \neq 0$

1 は 0 に等しくないため、点は直線の方程式を満たさず、したがって直線に属しません。

演習 5

パラメトリック方程式から直線の連続方程式を求めます。

$\displaystyle \begin{cases} x=-2+4t\\[1.7ex] y=-3t \end{cases}$

解決策を参照

パラメトリック方程式から直線の連続方程式に渡すには、パラメーターを分離する必要があります。

$t$

各パラメトリック方程式の次の式は次のとおりです。

$t =\cfrac{x+2}{4}$

$t =\cfrac{y}{-3}$

そして、結果として得られる 2 つの方程式を等化すると、次の直線の連続方程式が得られます。

$t= t$

$\cfrac{x+2}{4}=\cfrac{y}{-3}$

直線の連続方程式とは何ですか?

直線の連続方程式はどのように計算されるのでしょうか?

直線の連続方程式の求め方の例

2点からの直線の連続方程式を求める方法

直線の連続方程式の問題を解決しました

演習 1

演習 2

演習 3

演習 4

演習 5

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