平行ベクトル - マソリティ

このページでは、平行ベクトルに関するすべてを説明します。平行ベクトルの意味、2 つのベクトルが平行である場合、別のベクトルに平行なベクトルを見つける方法、このタイプのベクトルのプロパティなどです。例と解決された並列ベクトル演習。

平行ベクトルとは何ですか?

平行ベクトルとは、同じ方向を持つベクトルです。言い換えれば、2 つのベクトルが 2 本の平行線に含まれる場合、2 つのベクトルは平行です。したがって、2 つの平行なベクトル間の角度は 0 または 180 度になります。

たとえば、次の 3 つのベクトルは平行です。

さらに、2 つのベクトルの平行度は、その方向にのみ依存します。つまり、2 つのベクトルは、同じ方向であっても逆方向であっても、方向が一致していれば平行になります。そして、同じことが係数（または大きさ）でも起こり、2 つのベクトルが異なる係数を持ち、平行になる可能性があります。

一方、2 つのベクトルが同じで反対方向を向いている場合、それらは逆平行ベクトルと呼ばれます。

2 つのベクトルが平行かどうかはどうやってわかりますか?

2 つのベクトルが比例する場合、それらは平行になります。したがって、2 つのベクトルが平行かどうかを知るには、それぞれの成分が比例しているかどうかを判断する必要があります。

2 つの異なる演習 (1 つは 2 つの座標を持つベクトル、もう 1 つは 3 つの座標を持つベクトル) を解いて、2 つのベクトルが平行かどうかを確認する方法を見ていきます。

平面に平行なベクトルの例 (R2)

次の 2 つのベクトルが平行かどうかを判断します。

$\vv{\text{u}}=(-2,4) \qquad\vv{\text{v}}=(1,-2)$

それらが本当に平行ベクトルであるかどうかを知るには、それらのデカルト座標が比例しているかどうかを確認する必要があります。

$\cfrac{-2}{1} = \cfrac{4}{-2} = -2$

X 成分と Y 成分をそれらの間で除算すると、同じ結果 (-2) が得られるため、2 つのベクトルは比例し、したがって平行になります。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}}$

数学では、2 つの幾何学的要素が平行である場合、これは 2 本の垂直バー (II) で示されることに注意してください。

空間内の平行ベクトルの例 (R3 内)

次の 2 つのベクトルで並列条件が満たされるかどうかを確認します。

$\vv{\text{u}}=(1,3,-2) \qquad\vv{\text{v}}=(2,6,4)$

それらが実際に平行ベクトルであるかどうかを判断するには、ベクトルの座標が比例しているかどうかを確認する必要があります。

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6} = 0,5 \neq \cfrac{-2}{4} = -0,5$

ベクトルの X 成分と Y 成分は、それらを除算すると同じ結果が得られるため互いに比例しますが、一方、Z 成分には比例しません。したがって、ベクトルはすべてに比例せず、したがって平行ではありません。

$\vv{\text{u}} \ \cancel{\parallel} \ \vv{\text{v}}$

平行ベクトルを計算するにはどうすればよいですか?

別のベクトルに平行なベクトルを見つけるには、単純にゼロ (0) 以外のスカラー (実数) を乗算します。したがって、ベクトルには無限の数を乗算できるため、互いに平行なベクトルが無限に存在します。

たとえば、次のベクトルの複数の平行ベクトルを計算します。

$\vv{\text{v}}=(2,4)$

次のすべての積の結果は、前のベクトルと平行なベクトルになります。

$2\vv{\text{v}}=(4,8)$

$3\vv{\text{v}}=(6,12)$

$-1\vv{\text{v}}=(-2,-4)$

$\displaystyle \frac{1}{2}\vv{\text{v}}=(1,2)$

平行ベクトルの性質

平行ベクトルには次の特性があります。

再帰特性: 各ベクトルはそれ自体に対して平行です。

$\vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{v}}$

対称特性: ベクトルが別のベクトルに平行である場合、このベクトルも最初のベクトルに平行です。この性質は垂直ベクトルにもあります。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{u}}$

推移的プロパティ: ベクトルが別のベクトルと平行で、この 2 番目のベクトルが 3 番目のベクトルと平行である場合、最初のベクトルも 3 番目のベクトルと平行になります。

$\left. \begin{array}{c} \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \\[2ex] \vv{\text{v}} \parallel \vv{\text{w}} \end{array} \right\} \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{w}}$

2 つの平行なベクトルの内積は、それらの係数の積に等しくなります。この特定の現象が発生する理由は、内積プロパティで確認できます。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert$

2 つの平行なベクトルは常に線形依存します。この概念は非常に重要なので、知らない場合は、 2 つの線形従属ベクトルとは何かを参照してください。

$\vv{\text{u}} \parallel \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ LD$